Question

Помогите пожалуйста решить данное уравнение: 2 cos²x + 2 sin2x = 3​
указать корни данного уравнения, принадлежащие отрезку [-3п/2; -п/2]

Answer 1

Ответ: x=arctg 1/3 -π   ;   - 3π/4

Объяснение:

2 cos²x + 2 sin2x = 3​

2 cos²x + 4 sinx·cosx -3=0​

2 cos²x + 4 sinx·cosx -3·cos²x  - 3·sin²x=0​

4sinx·cosx -cos²x -3·sin²x=0  поделим обе части уравнения на cos²x

4sinx/cox -1-3·sin²x/cos²x=0

4tgx-1-3tg²x=0

tgx=t                                       заменим переменную

-3t²+4t-1=0

t1=1       t2=1/3

=> tgx=1 => x=π/4+πk,  k∈Z

   tgx=1/3 =>x=arctg(1/3)+πn; π∈Z

Теперь выберем корни для промежутка х∈ [-3п/2; -п/2] =[-6п/4; -2п/4]

Для корня  x=π/4+πk,  k∈Z , если k=-1 =>

x=π/4 -π= -3π/4      -6π/4<-3π/4<-2π/4

=> - 3π/4 -попадает в заданный интервал

если k=-2 =>  x=π/4-2π = -7π/4 < -6π/4 =>  -7π/4   не попадает в заданный интервал

Для корня  x=arctg 1/3+πn,  n∈Z , если n=-1 =>

x=arctg 1/3 -π  - угол 3-его квадранта (arctg 1/3 - угол 1-ого квадранта - сдвинутый на π по часовой стрелке попадаем в 3-ий квадрант)

Интервал [-3п/2; -п/2] включает углы 2-ого и 3-его квадрантов, включая границы.

=> x=arctg 1/3 -π попадает в заданный интервал  

Если n =-2 и меньше , то получим углы меньше -3п/2