Дан треугольник ABC. Биссектрисы угла A и угла B пересекаются в точке D, которая соединена с вершиной треугольника С.
Найдите угол ВCD, если угол ADB равен 110°.
Ответы
Ответ:
Обозначим угол BCD как x. Тогда по свойству биссектрисы угла A, угол ADB равен углу CDB. Значит, угол CDB тоже равен 110°.
Также заметим, что угол BDC равен полусумме углов B и C, так как CD является биссектрисой угла B и угла C. Поэтому:
∠BDC = 1/2(∠B + ∠C)
Заменим ∠C на угол CDB, который мы нашли выше:
∠BDC = 1/2(∠B + 110°)
Но ∠BDC и угол ВCD являются смежными углами, поэтому:
∠BDC + ∠BCD = 180°
Заменим ∠BDC на выражение, которое мы получили выше:
1/2(∠B + 110°) + x = 180°
Упростим выражение:
∠B/2 + x = 70°
∠B/2 = 70° - x
∠B = 2(70° - x)
Теперь заметим, что угол ВCD является внешним углом треугольника ACD. Поэтому:
∠BCD = ∠BAC + ∠ACD
Но угол АDC является внутренним углом треугольника ABC, и его смежный угол BDA равен 110°. Значит, угол BAC равен полусумме углов A и B минус 90°, так как в сумме углы треугольника ABC равны 180°:
∠BAC = 1/2(∠A + ∠B) - 90°
Заменим ∠B на 2(70° - x), а ∠A на 180° - ∠B - ∠C:
∠BAC = 1/2(180° - 2(70° - x) - ∠C) - 90°
Упростим выражение, заменив ∠C на 110°:
∠BAC = x - 25°
Теперь заменим ∠BAC и ∠BCD в формуле для ∠BDC + ∠BCD = 180°:
x - 25° + 110° + x = 180°
Упростим выражение и решим уравнение:
2x + 85° = 180°
2x = 95°
x = 47.5°
Таким образом, угол ВCD равен 110° - 47.5° = 62.5°.