Question

Биатлонисты устроили необычное соревнование. При беге на 15 км спортсмены выполняли 4 серии по 5 выстрелов. За первый промах полагалось пробежать дополнительно 100 метров штрафной дистанции, за каждый следующий промах на 50 метров больше. Сколько точных попаданий совершил спортсмен, пробежавший в итоге 17,2 км?​

Answer 1

Так как изначальная длина дистанции составляла 15 км, а с учетом штрафной дистанции - стала составлять 17.2 км, то непосредственно за промахи была добавлена дистанция:

17.2 км - 15 км = 2.2 км = 2200 м

Заметим, что штрафные дистанции, даваемые за каждый промах, составляют арифметическую прогрессию с первым членом, равным 100 м, и разностью, равной 50 м.

Найдем, сумма скольких первых членов такой прогрессии равна 2200 м.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$

Подставим значение первого члена, разности и суммы:

$\dfrac{2\cdot 100+50(n-1)}{2}\cdot n=2200$

$(100+25(n-1))\cdot n=2200$

$(100+25n-25)\cdot n=2200$

$(25n+75)\cdot n=2200$

$25n^2+75n-2200=0$

$n^2+3n-88=0$

$D=3^2-4\cdot1\cdot(-88)=9+352=361$

$n_1\neq \dfrac{-3-\sqrt{361} }{2} < 0$

$n_2=\dfrac{-3+\sqrt{361} }{2} =\dfrac{-3+19 }{2} =8$

Таким образом, 8 отдельных увеличивающихся штрафных дистанций в сумме дали общую штрафную дистанцию 2200 м. Значит, совершено было 8 промахов.

Поскольку биатлонисты выполняли 4 серии по 5 выстрелов, то всего было 4·5=20 выстрелов.

Тогда, точными из них были 20-8=12 выстрелов.

Ответ: 12