ОЧЕНЬ СРОЧНО ПОСЛЕДНИЕ 2 ВОПРОСА И ЕСЛИ МОЖНО С ОБЪСНЕНИЕМ!!!
Дан треугольник ABC. К стороне BC проведён срединный перпендикуляр , который пересекает сторону AC в точке М.
Чему равна длина отрезка АМ, если BМ = 6 см и AC = 8 см.
Дан треугольник ABC. Биссектрисы угла A и угла B пересекаются в точке D, которая соединена с вершиной треугольника С.
Найдите угол ВCD, если угол ADB равен 110°.
Ответы
Ответ:
Пусть точка O - середина стороны BC. Тогда OM = BM = 6 см.
Также из свойств треугольника мы знаем, что AM является медианой треугольника ABC, а значит делит сторону BC пополам. Значит, MO = OC = 4 см.
Применим теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике AOM:
AM² = AO² + OM² = (AC/2)² + BM² = 4² + 6² = 52
AM = √52 = 2√13 см. Ответ: 2√13 см.
Объяснение:
По свойству биссектрисы угла, точка D делит сторону AC на отрезки в пропорции AB/BC. Также, по теореме углов треугольника, угол BDC равен 180° - угол ADB - угол ADC. Значит, угол BDC = 180° - 110° - угол ADC.
Найдем отношение AB/BC. Для этого можно использовать теорему синусов в треугольнике ABC:
AB/BC = sin(∠ABC) / sin(∠BAC)
Заметим, что ∠ABC и ∠BAC являются смежными углами для треугольника ABD, поэтому можно использовать теорему синусов для него:
AB/BD = sin(∠ABD) / sin(∠BAD)
Аналогично, для треугольника CBD:
BC/BD = sin(∠CBD) / sin(∠CDB)
Из этих трех равенств можно выразить AB/BC:
AB/BC = (sin(∠ABD) / sin(∠BAD)) / (sin(∠CBD) / sin(∠CDB))
Заменим знаки синусов на косинусы, используя свойства комплиментарных углов:
AB/BC = (cos(∠CBD) / cos(∠CDB)) / (cos(∠ABD) / cos(∠BAD))
Заметим, что ∠CDB и ∠BAD являются вертикальными углами, поэтому они равны. Аналогично, ∠ABD и ∠CBD равны, так как они дополняют друг друга до 180°. Получаем:
AB/BC = cos(∠CBD) / cos(∠ABD)
Найдем косинусы этих углов. Для этого можно использовать теорему косинусов в треугольниках CBD и ABD:
cos(∠CBD) = (BC² + BD² - CD²) / (2 * BC * BD)
cos(∠ABD) = (AB² + BD² - AD²) / (2 * AB * BD)
Подставим эти выражения в формулу для AB/BC:
AB/BC = ((BC² + BD² - CD²) / (2 * BC * BD)) / ((AB² + BD² - AD²) / (2 * AB * BD))
Упростим выражение, сократив на BD:
AB/BC = (BC² + BD² - CD²) / (AB² + BD² - AD²)
Заметим, что AB/BC = 1, так как точка D лежит на биссектрисе угла B. Значит, получаем уравнение:
1 = (BC² + BD² - CD²) / (AB² + BD² - AD²)
Перенесем все слагаемые с BD² на одну сторону:
BC² - CD² - AB² + AD² = 0
Это уравнение является теоремой косинусов для треугольника BCD. Значит, можно найти косинус угла BCD:
cos(∠BCD) = (BC² + CD² - BD²) / (2 * BC * CD)
Подставим известные значения:
cos(∠BCD) = (6² + 8² - 5²) / (2 * 6 * 8) = 49/96
Найдем угол BCD, используя обратную функцию косинуса:
∠BCD = arccos(49/96) ≈ 61.3°
Ответ: угол ВCD ≈ 61.3°.