Question

2. У колі провели діаметр АВ і хорди AC i CD так, що АС= 16 см, < BAC = 30°, AB | CD. Знайдіть довжину хорди CD. 3. До кола з центром О проведена дотична AB (B - точка дотику ). Знайдіть радіус кола, якщо AB = 8 см і < AOB = 45°. 4. Два кола мають внутрішній дотик , а відстань між центрами кiл дорівнює 16 см. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо вони пропорційні числам 3 і 5​

Answer 1

Відповідь:

Оскільки AB є діаметром, то <ABC = 90°. За теоремою Піфагора знаходимо BC:

BC² = AB² - AC² = 15² - 16² = 225 - 256 = -31

Оскільки довжина не може бути від'ємною, то є помилка у постановці задачі.

Оскільки AB - дотична до кола, то OA ⊥ AB і OA - радіус кола, спрямований до точки дотику B. Оскільки <AOB = 45°, то за теоремою косинусів:

AB² = AO² + OB² - 2·AO·OB·cos<AOB

8² = r² + r² - 2·r·r·cos45°

64 = 2r² - 2r²·√2

2r²·√2 = 2r² - 64

r²(2√2 - 2) = -64

Оскільки дійсна довжина не може бути від'ємною, то ми знаходимо, що 2√2 - 2 < 0. Тому розв'язок не існує.

Оскільки AB - дотична до кола, то OA ⊥ AB і OA - радіус кола, спрямований до точки дотику B. Оскільки <AOB = 45°, то <OAB = <OBA = 45°/2 = 22.5°. Тоді за теоремою синусів:

r/8 = sin22.5°

r = 8sin22.5° ≈ 2.83 см.

Нехай r1 та r2 - радіуси внутрішнього та зовнішнього кола відповідно. Оскільки дотична до кола є перпендикулярною до радіуса, який проведений у точку дотику, то MO ⊥ AB. Тоді AM = BM і CN = DN. Оскільки відрізок, який з'єднує центри кола, є середнім лінією трапеції MBCN, то його довжина дорівнює середньому арифметичному радіусів цих колів:

r1 + r2 = 16

r1/r2 = 3/5

З системи рівнянь знаходимо:

r1 = 12 см,

r2 = 20 см