Question

Для натуральных чисел x,y верно неравенство $\displaystyle \frac{20}{107} \ \textless \ \frac{x}{y} \ \textless \ \frac{19}{100}$ найдите сумму цифр минимального y

Answer 1

Ответ:

7.

Объяснение:

Красивого решения я не нашел, но раз никто решение не привел, напишу своё. Первоначальные попытки позволили найти дробь

 $\dfrac{7}{37}=0,189\ldots,$  которая больше $a=\dfrac{20}{107}=0,1869\ldots$  и меньше $b=\dfrac{19}{100}=0,19.$

Объяснять, как я на неё вышел, не буду, так как оказалось, что знаменатель этой дроби не является минимальным.

Начинаем перебор с самых маленьких y. Сразу отбрасываем y≤5, поскольку при таких y  дробь $\dfrac{1}{y}\ge 0,2,$ то есть мы сразу оказываемся правее правой границы. Сразу отбрасываем знаменатели от 6 до 10, поскольку при таких y дробь   $\dfrac{1}{y}\le \dfrac{1}{6}=0,1(6) < a,$  а дробь  $\dfrac{2}{y}\ge\dfrac{2}{10}=0,2 > b.$  Отбрасываем знаменатели от 11 до 15, поскольку при таких y дробь   $\dfrac{2}{y}\le \dfrac{2}{11}=0,(18) < a,$  а дробь $\dfrac{3}{y}\ge \dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}=0,2 > b.$

И вот, наконец, удача - дробь  $\dfrac{3}{16}=0,1875$  лежит между a и b.

Итак, минимальный знаменатель - это 16, а сумма его цифр равна 7.