Question

дослідити на екстремум таку задачу:
z = x√y + x^2 − y + 6x + 3

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Для того, щоб знайти екстремуми цієї функції, необхідно взяти її похідні за змінними x та y та прирівняти до нуля:

∂z/∂x = √y + 2x + 6 = 0

∂z/∂y = (x/2√y) - 1 = 0

З першого рівняння отримуємо:

√y = -2x - 6

Підставляємо це у друге рівняння та отримуємо:

x/(-4x - 12) - 1 = 0

Розв'язуючи це рівняння, ми отримуємо:

x = -3

Підставляючи це значення x у перше рівняння, ми отримуємо:

√y = 3

Отже, знаходячись на границі можливих значень змінних x та y, ми отримали єдину критичну точку (-3, 9).

Щоб визначити, чи є ця точка максимумом чи мінімумом, необхідно проаналізувати другі похідні:

∂²z/∂x² = 2

∂²z/∂y² = -x/4y^(3/2)

∂²z/∂x∂y = 1/(2√y)

Підставляючи значення (-3, 9), отримуємо:

∂²z/∂x² = 2 > 0

∂²z/∂y² = -(-3)/(4(9)^(3/2)) < 0

∂²z/∂x∂y = 1/(2(3)) > 0

Отже, ми бачимо, що ця точка є точкою максимуму. Таким чином, максимальне значення функції знаходиться при x=-3 та y=9 і дорівнює:

z = -3√9 + 9 - 9 + (-18) + 3 = -15