Question

1. X ve Y birbirinden bağımsız ve (0,1) aralığında düzgün dağılıma sahip iki rasgele değişken olsun. Bu durumda; a. P(X + Y < 1), P(|X – Y| < 1/2), E(X + Y) değerlerini teorik olarak hesaplayınız. b. Bu değerleri bin tekrarlı bir benzetim (simülasyon) ile tahmin edecek bir MATLAB programı yazınız, programı çalıştırınız, kodları ve sonucu raporlayınız. Ayrıca bulduğunuz sonuçların yukarıda bulduğunuz sonuçlara yakın olup olmadığını inceleyiniz.​

Answer 1

X ve Y, 0 ile 1 arasında uniform dağılıma sahip ve birbirinden bağımsız iki rastgele değişken olsun. Bu durumda;

a. P(X + Y < 1), P(|X – Y| < 1/2), E(X + Y) değerlerini teorik olarak hesaplayınız.

b. Bu değerleri bin tekrarlı bir benzetim (simülasyon) ile tahmin edecek bir MATLAB programı yazınız, programı çalıştırınız, kodları ve sonucu raporlayınız. Ayrıca bulduğunuz sonuçların yukarıda bulduğunuz sonuçlara yakın olup olmadığını inceleyiniz.

(a)

X ve Y düzgün dağılıma sahip olduğundan,

f_X(x) = 1, 0 ≤ x ≤ 1

f_Y(y) = 1, 0 ≤ y ≤ 1

a) P(X + Y < 1):

Z = X + Y

f_Z(z) = ∫ f_X(z-y)f_Y(y) dy = ∫[0, z] dy = z, 0 ≤ z ≤ 1

P(X + Y < 1) = P(Z < 1) = ∫ f_Z(z) dz = ∫[0, 1] z dz = 1/2

b) P(|X – Y| < 1/2):

P(|X – Y| < 1/2) = P(-1/2 < X – Y < 1/2) = P(X < Y + 1/2) – P(X < Y – 1/2)

= ∫∫[x < y+1/2] f_X(x)f_Y(y) dxdy – ∫∫[x < y-1/2] f_X(x)f_Y(y) dxdy

= ∫[0, 1/2] ∫[x, x+1/2] dy dx + ∫[1/2, 1] ∫[x, 1/2+x] dy dx – ∫[0, 1/2] ∫[0, x-1/2] dy dx – ∫[1/2, 1] ∫[0, x-1/2] dy dx

= (1/8 + 1/8) + (1/8 + 1/8) – (1/8 + 1/8) – (1/8 + 1/8) = 1/2

c) E(X + Y):

E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 1/2 + 1/2 = 1

(b)

% MATLAB programı

n = 1000; % Simülasyon sayısı

X = rand(n,1);

Y = rand(n,1);

Z = X + Y;

prob1 = sum(Z < 1)/n;

prob2 = sum(abs(X-Y) < 1/2)/n;

exy = mean(X+Y);

fprintf('Teorik hesaplamalar:\n');

fprintf('P(X + Y < 1) = %.4f\n', 1/2);

fprintf('P(|X – Y| < 1/2) = %.4f\n', 1/2);

fprintf('E(X