Question

Знайдіть суму перших шести членів геометричної прогресії, другий член якої дорівнює 162, а пятий дорівнює 6.

Answer 1

Первоначально нам нужно найти знаменатель и 1 член прогрессии

Составим и решим систему уравнений:

$\displaystyle\left \{ {{bq=162} \atop {bq^4=6}} \right.$

Разделим уравнения друг на друга:

$\dfrac{1}{q^3}=27\\\\ q=\dfrac{1}{3}= > b\times\dfrac{1}{3}=162\\\\ b= 486$

Значит первый член прогрессии - 486, а знаменатель прогрессии -

¹/₃

Теперь с помощью формулы

$S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$

можем найти сумму первых 6 членов прогрессии

$S_6=\dfrac{486\bigg(\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^6-1\bigg)}{\dfrac{1}{3} -1} =\dfrac{486\bigg(\dfrac{1}{3^6}-1\bigg)}{\dfrac{1}{3} -1}=\dfrac{\dfrac{486}{3^6}-486}{-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\dfrac{486(1-3^6)}{3^6}}{-\dfrac{2}{3}}=\\\\=\dfrac{\dfrac{486\times(-728)}{3^6}}{-\dfrac{2}{3}}=\dfrac{\dfrac{486\times728}{3^6}}{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{176904}{243} =728$

Cумма первых шести членов равна 728

Answer 2

Нехай перший член геометричної прогресії дорівнює a, а знаменник дорівнює q. За умовою задачі маємо:

a * q = 162 (1)

a * q^4 = 6 (2)

Розділимо рівність (2) на рівність (1), щоб усунути знаменник q:

a * q^4 / (a * q) = 6 / 162

q^3 = 1/27

q = 1/3

Підставимо значення q у рівність (1), щоб знайти значення a:

a * (1/3) = 162

a = 486

Отже, перші шість членів геометричної прогресії мають вигляд:

486, 162, 54, 18, 6, 2

Сума перших шести членів геометричної прогресії дорівнює:

486 + 162 + 54 + 18 + 6 + 2 = 728

Отже, сума перших шести членів геометричної прогресії дорівнює 728.