Question

"диференціальні рівняння "
#1 Знайти загальний розв'язок диференційного рівняння з відокремленими змінними
#2 Знайти частковий розв'язок лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими y(0) = 0
коефіцієнтами за умовами y(0) =1
допоможіть будь ласка
​

Answer 1

Ответ:

1)  Дифференциальное уравнение 1 порядка с разделяющимися переменными .

$\displaystyle \bf xyy'=1-x^2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ yy'=\dfrac{1-x^2}{x}\ \ ,\ \ \ y\cdot \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}-x\ \ ,\\\\\\\int y\, dy=\int \Big(\dfrac{1}{x}-x\Big)\, dx\\\\\\\frac{y^2}{2}=ln|\, x\, |-\frac{x^2}{2}+\frac{C}{2}\\\\\\y=\pm \sqrt{ln(x^2)-x^2+C}$  

2) Линейное однородное диффер. уравнение 2 пор. с постоянными коэффициентами .

$\bf y''+y'-6y=0$  

Характеристическое уравнение :  

$\bf k^2+k-6=0\ \ \Rightarrow \ \ \ k_1=-3\ \ ,\ \ k_2=2$  

Общее решение :   $\bf y=C_1\, e^{-3x}+C_2\, e^{2x}$  

Подставляем начальные условия  $\bf y(0)=0\ ,\ y'(0)=1$  .

$\bf y(0)=C_1+C_2=0\ \ \Rightarrow \ \ \ C_1=-C_2\\\\y'(x)=-3C_1\, e^{-3x}+2C_2\, e^{2x}\ \ \Rightarrow \ \ \ y'(0)=-3C_1+2C_2=1\\\\-3\cdot (-C_2)+2C_2=1\ \ ,\ \ 5C_2=1\ \ ,\ \ C_2=0,2\ \ ,\ \ \ C_1=-0,2$  

Частное решение :   $\bf y_{chastn.}=-0,2\, e^{-3x}+0,2\, e^{2x}$  .