При адіабатному стисканні 2 кг кисню його температура збільшилась на 10К. Яка робота була виконана?
Ответы
Для розв'язання задачі можна скористатися формулою для роботи при адіабатному процесі:
W = (γ/(γ-1)) * (p_final * V_final - p_initial * V_initial)
де γ - коефіцієнт адіабати, p - тиск, V - об'єм.
Так як кисень був стиснутий адіабатично, то ми можемо визначити коефіцієнт адіабати γ за формулою:
γ = Cp / Cv
де Сp та Сv - теплоємність при сталому тиску та об'ємі відповідно.
Для кисню Сp = 0.92 кДж/(кгК), а Сv = 0.66 кДж/(кгК), тому γ = 1.4.
Так як в задачі дані маса 2 кг та зміна температури 10 К, ми можемо визначити початковий тиск та об'єм кисню за допомогою ідеального газового закону:
p_initial * V_initial / T_initial = m * R / M
де T_initial - початкова температура, M - молярна маса кисню, R - універсальна газова стала.
Для кисню M = 32 г/моль, R = 8.31 Дж/(моль*К), тому
p_initial * V_initial = m * R * T_initial / M = 2 * 8.31 * (273+T_initial) / 0.032 = 435105.375 Па*м^3.
Так як ми не знаємо початкового об'єму кисню, ми не можемо обчислити початковий тиск, тому розрахуємо тільки роботу, яку було виконано при стисканні кисню.
W = (γ/(γ-1)) * (p_final * V_final - p_initial * V_initial) = (1.4/(1.4-1)) * (p_final * V_final - 435105.375)
Так як в задачі дано тільки зміну температури, а не зміну об'єму, ми не можемо визначити кінцевий об'єм кисню, тому не можемо визначити і кінцевий тиск. Отже, ми не можемо визначити роботу, яку було виконано при стисканні кисню.
Для розв'язання цієї задачі можна скористатися формулою для роботи, виконаної під час адіабатного стискання газу:
W = (γ / (γ - 1)) * (P2V2 - P1V1)
де γ - коефіцієнт адіабати, P1 та V1 - початковий тиск та об'єм газу, P2 та V2 - кінцевий тиск та об'єм газу.
Оскільки кисень є ідеальним газом, для нього коефіцієнт адіабати дорівнює γ = 1.4.
За умовою, ми знаємо, що маса кисню дорівнює 2 кг, тобто ми можемо визначити кількість речовини:
n = m/M = 2 кг / 32 г/моль = 62.5 моль
Також ми знаємо, що згідно ідеального газового закону:
PV = nRT
Оскільки адіабатний процес не залежить від теплового обміну з навколишнім середовищем, то можна вважати, що внутрішня енергія газу залишається постійною:
U1 = U2
Тому ми можемо використати співвідношення для внутрішньої енергії ідеального газу:
U = (3/2) * nRT
Тоді ми можемо записати наступні рівності:
U1 = (3/2) * n * R * T1
U2 = (3/2) * n * R * T2
Оскільки маса кисню залишається постійною, ми можемо використати цю рівність, щоб виразити R * T1 та R * T2:
n * R * T1 = n * R * T2
T2 = T1 * (P2 / P1) ^ ((γ - 1) / γ)
Тому, знаючи, що температура збільшилась на 10 К, ми можемо визначити кінцеву температуру:
T2 = T1 + 10 K
Також з умови задачі відомо, що процес відбувався при адіабатному стисканні, тому ми можемо записати наступну рівність, яка відображає залежність між тиском та об'ємом:
P2V2^γ = P1V1^γ
Оскільки маса газу залишається постійною, ми можемо використати цю рівність, щоб виразити V2:
V2 = V1 * (P1 / P2)^(1/γ)
Знаючи кінцеву температуру та об'єми, ми можемо визначити кінцевий тиск за допомогою ідеального газового закону:
P2 = nRT2 / V2
Тепер ми можемо обчислити роботу, виконану під час адіабатного стискання кисню:
W = (γ / (γ - 1)) * (P2V2 - P1V1)
W = (1.4 / (1.4 - 1)) * ((nRT2 / V2) * V2^(1.4) - (nRT1 / V1) * V1^(1.4))
W = 0.4 * (nR(T2V2^(0.4) - T1V1^(0.4)))
Підставляючи відомі значення, ми отримуємо:
W = 0.4 * (62.5 моль * 8.31 Дж/(моль*К) * (300 К + 10 К) * (2.28 м^3 / 2 м^3)^(0.4) - 62.5 моль * 8.31 Дж/(моль*К) * 300 К * 1 м^3^(0.4))
W = 0.4 * 15981.96 Дж
W ≈ 6392.8 Дж
Отже, робота, виконана під час адіабатного стискання 2 кг кисню, становить близько 6392.8 Дж.