Question

1 ВАРИАНТ 1. Укажите соответствующий вывод для каждого неравенства. Обоснуйте свой ответ. a) x² + 4x -10 ≤ 0; b) -2x² + 10x - 25 ≤ 0; c) x² + 3x +2< 0; d) x² - 4 > 0. 1) Неравенство не имеет решений. 2) Решением неравенства является вся числовая прямая. 3) Решением неравенства является одна точка. 4) Решением неравенства является
закрытый промежуток. 5) Решением неравенства является открытый промежуток. Решением неравенства является объединение двух промежутков. 1
​

Answer 1

Ответ:

$\bf a)\ \ x^2+4x-10\leq 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (x+2)^2-4-10\leq 0\ \ ,\\\\(x+4)^2-14\leq 0\ \ ,\ \ (x+4-\sqrt{14})(x+4+\sqrt{14})\leq 0$  

Нули функции :   $\bf x_1=-4-\sqrt{14}\ ,\ \ x_2=-4+\sqrt{14}$  

Знаки функции на промежутках :

$\bpldsymbol{---[-4-\sqrt{14}\ ]---[-4+\sqrt{14}\ ]+++}$  

Выбираем промежуток со знаком минус .

$\boldsymbol {x\in [-4-\sqrt{14}\ ;\ -4+\sqrt{14}\ ]}$  

Ответ:  №4 , закрытый промежуток .

$\bf b)\ \ -2x^2+10x-25\leq 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 2x^2-10x+25\geq 0$  

Ищем нули функции .

$\bf D/4=(b/2)^2-ac=5^2-2\cdot 25=-25 < 0\ \ \ \Rightarrow$  

Точек пересечения с осью ОХ нет . Так как  а=2>0 , то ветви параболы направлены вверх и её график лежит выше оси ОХ . Следовательно неравенство будет выполняться при любых значениях  х  .

 $\boldsymbol{x\in (-\infty\, ;+\infty \, )}$  

Ответ:  №2 , вся числовая прямая .

$\bf c)\ \ x^2+3x+2 < 0\ \ ,\ \ x_1=-2\ ,\ \ x_2=-1\ \ (teorema\ Vieta)\\\\(x+2)(x+1) < 0$

Знаки функции :  $\boldsymbol{+++(-2)---(-1)+++}$

Выбираем интервал со знаком минус .

$\bf x\in (-2\ ;-1\ )$

Ответ:  №5 , открытый промежуток .

$\bf d)\ \ x^2-4 > 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ (x-2)(x+2) > 0$  

Нули функции :   $\bf x_1=-2\ ,\ x_2=2$  .

Знаки на интервалах :   $\boldsymbol{+++(-2)---(2)+++}$  

Выбираем интервалы со знаками плюс .

 $\boldsymbol{x\in (-\infty \, ;-2\ )\cup (\ 2\ ;+\infty \, )}$  

Ответ:  №6 , объединение промежутков .