Question

100 балів!!! Будь ласка, хто-небудь, допоможіть!!!!! необхідно виготовити циліндричний бак об'єм якого дорівнює V. Якими мають бути його розміри , щоб на виготовлення було витрачено найменшу кількість матеріалу. ​

Answer 1

Для виготовлення циліндричного бака об'ємом V із найменшим витратами матеріалу потрібно обрати такі розміри, щоб площа бічної поверхні бака була мінімальною.

Розміри циліндричного бака - це радіус основи (r) та висота (h). Об'єм циліндра можна виразити формулою V = πr^2h.

Площа бічної поверхні циліндра складається з прямокутника площею 2πrh і двох колових сегментів площею πr^2, тобто S = 2πrh + 2πr^2.

Щоб знайти мінімальну площу бічної поверхні, можна взяти похідну S по r і по h і прирівняти до нуля.

dS/dr = 2πh + 4πr = 0
dS/dh = 2πr = 0

З другого рівняння отримуємо, що r = 0, тобто циліндр повинен мати безкінечно малу висоту, що не має сенсу для задачі. Тому розглянемо перше рівняння:

2πh + 4πr = 0

h = -2r

Підставляючи це значення в формулу об'єму, отримуємо:

V = πr^2(-2r)

V = -2πr^3

Отримали залежність об'єму від радіуса. Щоб знайти мінімальний радіус, можемо знайти його за допомогою формули рівноваги:

dV/dr = -6πr^2 = 0

Отримали, що r = 0, тобто також отримали некоректне рішення. Це означає, що для мінімізації витрат матеріалу при виготовленні циліндричного бака об'ємом V необхідно взяти максимальний можливий радіус та відповідну висоту, які задовольняють умовам виробництва.