Ділянка прямокутної форми розміром 3м на 4М закладається плиткою (800 штук), що має форму прямокутного трикутника .яких розмірів повинна бути плитка ,якщо один з її катетів на 5 см більше іншого?
Ответы
Відповідь:
Меньший з катетів прямокутного трикутника дорівнює 15 см, а більший з катетів прямокутного трикутника дорівнює 20 см.
Пояснення:
Позначимо як Х см. меньший з катетів прямокутного трикутника, у такому випадку більший з катетів прямокутного трикутника дорівнює ( Х + 5 ) см.
Оскільки плитка має форму прямокутного трикутника, а ділянка має прямокутну форму, то будемо закладати плитку по дві штуки ( у такому разі дві плитки утворять прямокутник зі сторонами, що дорівнюють катетам прямокутного трикутника ). Таким чином кількість прямокутників буде дорівнювати 800 / 2 = 400 шт.
Примемо кількість прямокутників вздовж сторони у 4 м = 400 см, як А шт, та кількість прямокутників вздовж сторони у 3 м = 300 см, як В шт. У такому випадку отримаємо перше рівняння:
А × В = 400 ( 1 )
Ми маємо два варіанти:
1 варіант) Меньший з катетів прямокутного трикутника розміщується вздовж сторони у 400 см, а більший з катетів - вздовж сторони у 300 см. Отримаємо ще два рівняння:
А × Х = 400 ( 2 )
В × ( Х + 5 ) = 300 ( 3 )
Маємо систему з трьох рівняннь:
А × В = 400 ( 1 )
А × Х = 400 ( 2 )
В × ( Х + 5 ) = 300 ( 3 )
Виразимо А через В з рівняння ( 1 ):
А = 400 / В
Підставимо отриманний вираз до рівняння ( 2 ):
Х × 400 / В = 400
В = Х
Підставимо отриманний вираз до рівняння ( 3 ):
Х × ( Х + 5 ) = 300
Розкриємо дужки, та отримаємо квадратне рівняння:
Х² + 5Х - 300 = 0
Знайдемо дискоімінант квадратного рівняння:
D = 5² - 4 × 1 × ( -300 ) = 25 + 1200 = 1225
√D = 35
Знайдемо корні квадратного рівняння:
Х1 = ( -5 + √1225 ) / 2 = ( -5 + 35 ) / 2 = 15 см.
Х2 = ( -5 - √1225 ) / 2 = ( -5 - 35 ) / 2 = -20 см.
Другий корінь ми відкидаємо, оскільки розмір катету прямокутного трикутника не може бути негативним.
Перевірка:
Меньший з катетів прямокутного трикутника дорівнює 15 см, а більший з катетів прямокутного трикутника дорівнює 15 + 5 = 20 см.
Меньший з катетів прямокутного трикутника ( 15 см ) розміщується вздовж сторони у 400 см, а більший з катетів ( 20 см ) - вздовж сторони у 300 см.
Таким чином кількість прямокутників з двох плиток вздовж сторони у 400 см дорівнює:
400 / 15 = 26,(6) шт.
А кількість прямокутників з двох плиток вздовж сторони у 300 см дорівнює:
300 / 20 = 15 шт.
Загальна кількість прямокутників з двох плиток дорівнює:
26,(6) × 15 = 400 шт.
А загальна кількість плиток дорівнює:
400 × 2 = 800 шт.
2 варіант) Меньший з катетів прямокутного трикутника розміщується вздовж сторони у 300 см, а більший з катетів - вздовж сторони у 400 см. Отримаємо ще два рівняння:
А × ( Х + 5 ) = 400 ( 2 )
В × Х = 300 ( 3 )
Маємо систему з трьох рівняннь:
А × В = 400 ( 1 )
А × ( Х + 5 ) = 400 ( 2 )
В × Х = 300 ( 3 )
Виразимо В через А з рівняння ( 1 ):
В = 400 / А
Підставимо отриманний вираз до рівняння ( 3 ):
Х × 400 / А = 300
А = Х × 4/3
Підставимо отриманний вираз до рівняння ( 2 ):
Х × 4/3 ×( Х + 5 ) = 400
Х × ( Х + 5 ) = 400 × 3/4 = 300
Розкриємо дужки, та отримаємо квадратне рівняння:
Х² + 5Х - 300 = 0
Це те саме квадратне рівняння, що ми вирішували у першому варіанті. Воно має рішення Х = 15 см.
Перевірка:
Меньший з катетів прямокутного трикутника дорівнює 15 см, а більший з катетів прямокутного трикутника дорівнює 15 + 5 = 20 см.
Меньший з катетів прямокутного трикутника ( 15 см ) розміщується вздовж сторони у 300 см, а більший з катетів ( 20 см ) - вздовж сторони у 400 см.
Таким чином кількість прямокутників з двох плиток вздовж сторони у 300 см дорівнює:
300 / 15 = 20 шт.
А кількість прямокутників з двох плиток вздовж сторони у 400 см дорівнює:
400 / 20 = 20 шт.
Загальна кількість прямокутників з двох плиток дорівнює:
20 × 20 = 400 шт.
А загальна кількість плиток дорівнює:
400 × 2 = 800 шт.
Другий варіант кращий, оскільки він не передбачає різання плитки. Плитка закладається цілою.