У нижній основі циліндра проведено хорду, яку видно з центра цієї основи під кутом Бетта. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи із серединою цієї хорди, дорівнює L і утворюює з площиною основи кут альфа.
Знайдіть площу бічної поверхні циліндра.
Ответы
За теоремою косинусів в трикутнику можемо знайти довжину хорди на нижній основі циліндра, яка дорівнює:
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(β)
де a = b = r - радіус циліндра.
Отже, c^2 = 2r^2(1 - cos(β))
Оскільки відрізок, що сполучає центр верхньої основи з серединою хорди, є висотою в трикутнику, можна записати:
L = 2hcos(α)
де h - висота циліндра, що дорівнює r.
Отже, можна записати, що:
cos(α) = L/(2r)
Так як наш циліндр має круглу форму, то його бічна поверхня складається з прямокутних трапецій, які мають площу:
S = (a + b)h
де a та b - основи трапеції, що дорівнюють сторонам трикутників, утворених хордою на нижній основі циліндра та відрізком, який сполучає центр верхньої основи з серединою хорди, відповідно.
Оскільки a = b = r, тоді S = 2rh.
Підставивши вираз для h, отримаємо:
S = 2r*L*cos(α)
Підставляємо значення cos(α) та c^2:
S = 2r*L * (L/(4r^2)) * √(2 - 2cos(β))
Спрощуємо:
S = (L^2/2) * √(2 - 2cos(β))
Отже, бічна поверхня циліндра дорівнює (L^2/2) * √(2 - 2cos(β)). Відповідь записується українською мовою.