Question

1. Решите задачи с помощью теорем о вписанных и описанных четырёхугольниках а. Один из углов трапеции, вписанной в окружность, равен 43,5°. Найдите остальные углы трапеции. ь. Периметр равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равен 52 см. Найдите величину боковой стороны трапеции ​

Answer 1

Ответ:

Из теоремы о вписанных четырёхугольниках следует, что сумма противоположных углов трапеции равна 180°. Так как один из углов равен 43,5°, то другой угол также равен 43,5°. Таким образом, два угла трапеции равны 43,5°, а два других угла - это углы при основаниях трапеции (они равны между собой).

Для решения задачи б нужно использовать теорему описанного четырёхугольника: в ней утверждается, что биссектриса угла, образованного диаметром окружности и хордой, делит этот угол пополам. Так как дана равнобедренная трапеция, то биссектрисы углов при основаниях равны между собой. Периметр трапеции можно записать в виде P = 2a + 2b, где a и b - основания трапеции (они равны между собой), P - периметр. Следовательно, 2a + 2b = 52, а a + b = 26. Рассмотрим треугольник, образованный радиусом описанной окружности, биссектрисой угла при основании и одним из боковых сторон трапеции. Этот треугольник является прямоугольным, так как биссектриса угла при основании делит его пополам. Из этого треугольника можно записать соотношение a² = r² + h², где h - высота трапеции, r - радиус описанной окружности. Из равенства a + b = 26 можно выразить a через b: a = 26 - b. Подставляя это выражение в условие для радиуса описанной окружности, получаем (26 - b)² = r² + h². Также из равнобедренности трапеции следует, что h² = b² - (a/2)² = b² - (13 - b)²/4. Подставив это выражение в первое, получаем уравнение, которое можно решить относительно b:

(26 - b)² = r² + b² - (169 - 26b + b²)/4

(26 - b)² - b² + (169 - 26b + b²)/4 = r²

(26 - 5b/2)² + 169/4 - 169/2 + b²/4 = r²

(26 - 5b/2)² - 169/4 + b²/4 = r²

Таким образом, мы получили уравнение для радиуса описанной окружности в зависимости от одной переменной b. Решив его, можно найти значение боковой стороны трапеции.