Знайти найбільше і найменше значення функції f(x)=⅓x³-2x²+3 на вказаному проміжку [-1;2]
Знайти проміжки монотонності та екстреміст функції
f(x)=-x³+9x²+3
Ответы
Ответ:
1. Знайдемо значення функції на кінцях вказаного проміжку:
f(-1) = 1/3*(-1)^3-2*(-1)^2+3 = 4/3
f(2) = 1/3*2^3-2*2^2+3 = -1
Отже, найбільше значення функції на проміжку [-1;2] дорівнює 4/3 і досягається в точці x=-1, а найменше значення дорівнює -1 і досягається в точці x=2.
2. Знайдемо похідну функції:
f'(x)=-3x²+18x
Знайдемо точки перетину графіка функції з осю x, розв'язавши рівняння f'(x)=0:
-3x²+18x=0
x(3-x)=0
Отже, точки перетину графіка з осю x: x=0 і x=3.
При x<0 функція спадна, оскільки f'(x)<0.
При 0<x<3 функція зростає, оскільки f'(x)>0.
При x>3 функція спадає, оскільки f'(x)<0.
Точка (0,3) є мінімумом функції, оскільки функція спадає до неї, а після неї зростає. Точка (3,0) є максимумом функції, оскільки функція зростає до неї, а після неї спадає.