Продовження бічних сторін АВ і CD трапеції АВCD перетинаються в точці
М. Знайдіть площу трапеції, якщо ВC : АD = 2 : 5, а площа трикутника
ВМC дорівнює 12 см2. ПОМОГИТЕ ПРОШУ
Ответы
Відповідь: площа трапеції АВСD дорівнює 210/7
Покрокове пояснення: Позначимо точку перетину бічних сторін трапеції як M. Так як продовження бічних сторін АВ і CD перетинаються в точці М, то вони діляться відповідно відрізками BM та DM.
За умовою, BC:AD=2:5. Нехай BC=2x, тоді AD=5x.
Розглянемо трикутник ВМC. За умовою, площа цього трикутника дорівнює 12 см2. Площа трикутника може бути обчислена за формулою S = (1/2)·BM·MC, де BM та MC - сторони трикутника, які містять точку М. Підставимо в формулу відповідні значення та отримаємо:
12 = (1/2)·BM·MC
Оскільки BC:AD=2:5, то BM:DM=2:5. Тоді BM=2k, DM=5k. Площа трапеції дорівнює:
S = (1/2)·(AD+BC)·h = (1/2)·7x·h,
де h - висота трапеції.
Позначимо h1 - висоту трикутника ВМС, h2 - висоту трикутника АMD. Тоді
h1 = MC, h2 = AD-DM = 5x-5k.
Оскільки BM та DM ділять бічні сторони трапеції на 3 частини, то h = h1 + h2. Тоді
h = MC + AD - DM = MC + 5x - 5k.
Підставимо значення площі трикутника BMС та отримаємо:
12 = (1/2)·BM·MC = (1/2)·2k·MC = k·MC
Таким чином, MC = 24/5 см.
Тоді
h = MC + 5x - 5k = 24/5 + 5x - 5·(2/7)x = 24/5 + (15/7)x.
Підставимо значення h у формулу для площі трапеції та отримаємо:
S = (1/2)·7x·h = (1/2)·7x·(24/5 + (15/7)x) = 210/7x² + 84/5x.
Таким чином, площа трапеції АВСD дорівнює 210/7