Місткість цистерни для зберігання бензину на автозаправній
станції дорівнює 50 т. Знайти ймовірність подій, що полягають у тому, що
при випадковій перевірці в цистерні буде виявлено: а) менше 5 т бензину;
б) більше 30 т бензину; в) хоча б 1 т бензину.
Ответы
Ответ:
Для розв'язання задачі нам потрібно знайти ймовірності трьох подій:
a) Менше 5 т бензину знайдено в цистерні;
б) Більше 30 т бензину знайдено в цистерні;
в) Хоча б 1 т бензину знайдено в цистерні.
Ми можемо вирішити цю задачу, використовуючи нормальний розподіл і передбачаючи, що кількість бензину, яка знаходиться в цистерні, має середнє значення 50 т і стандартне відхилення, що дорівнює квадратному кореню з 50 т (бо дисперсія нормального розподілу дорівнює квадрату стандартного відхилення).
Отже, стандартне відхилення (σ) = √50 ≈ 7.07 т.
a) Щоб знайти ймовірність того, що менше 5 т бензину знайдено в цистерні, нам потрібно знайти площу під кривою нормального розподілу від 0 до 5 зі середнім значенням 50 та стандартним відхиленням 7.07 т. Математично це записується як:
P(X < 5) = P(Z < (5-50)/7.07) ≈ P(Z < -6.33) ≈ 0,000000001
де Z - стандартизована випадкова величина.
Отже, ймовірність того, що менше 5 т бензину знайдено в цистерні, дуже мала і приблизно дорівнює 0.
б) Щоб знайти ймовірність того, що більше 30 т бензину знайдено в цистерні, нам потрібно знайти площу під кривою нормального розподілу від 30 до нескінченності зі середнім значенням 50 та стандартним відхиленням 7.07 т. Математично це записується як:
P(X > 30) = P(Z > (30-50)/7.07) ≈ P(Z > -2.83) ≈ 0,0023
Отже, ймовірність того, що більше 30 т бензину знайдено в цистерні, становить близько 0.23 або 0.23%. Це означає, що ймовірність того, що в цистерні буде менше 30 т бензину, дуже висока - більше 99%.
в) Щоб знайти ймовірність того, що в цистерні буде хоча б 1 т бензину, нам потрібно знайти площу під кривою нормального розподілу від 1 до нескінченності зі середнім значенням 50 та стандартним відхиленням 7.07 т. Математично це записується як:
P(X > 1) = P(Z > (1-50)/7.07) ≈ P(Z > -7.05) ≈ 1
Це означає, що ймовірність того, що в цистерні буде хоча б 1 т бензину, становить 100%. Це очевидно, оскільки місткість цистерни дорівнює 50 т, тому є неможливим, щоб у ній не було жодного бензину.
Отже, ми отримали такі результати:
a) Ймовірність того, що менше 5 т бензину знайдено в цистерні, дуже мала і приблизно дорівнює 0.
б) Ймовірність того, що більше 30 т бензину знайдено в цистерні, становить близько 0.23% або 0.0023.
в) Ймовірність того, що в цистерні буде хоча б 1 т бензину, становить 100%.
Можете позначити як краща відповідь, якщо допоміг