2. У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки 6 см і 9 см. Знайдіть периметр трикутника, якщо радіус кола дорівнює 3 см.
Ответы
Позначимо катети трикутника через a і b, а гіпотенузу через c. Нехай I - центр вписаного кола, а r - його радіус. Тоді ми знаємо, що точка дотику I до гіпотенузи розділяє її на дві частини, які відповідають довжинам катетів:
a + b = c
З іншого боку, ми знаємо, що радіус вписаного кола співпадає з висотою, опущеної на гіпотенузу, тому ми можемо застосувати формулу для площі трикутника за двома параметрами:
S = 1/2 * a * b = r * c / 2
Підставляємо a + b = c:
S = r * (a + b) / 2
S = r * c / 2
r * (a + b) / 2 = r * c / 2
a + b = c, тому
r * c / 2 = r * c / 2
Отже, формули площі трикутника і відношення катетів дають нам систему рівнянь:
a + b = c
ab = 6*9 = 54
Розв'язуємо цю систему методом підстановок:
b = c - a
a(c - a) = 54
ac - a^2 = 54
a^2 - ac + 54 = 0
Застосовуємо формулу дискримінанту, щоб переконатися, чи має рівняння розв'язки:
D = c^2 - 4ab
D = 81 - 216 = -135
D від'ємна, отже, рівняння не має розв'язків. Але це суперечить умовам задачі і нашому знанню про те, що існує прямокутний трикутник, до якого можна вписати коло. Очевидно, що щось записано невірно.
Тому розв'яжемо задачу знову і розглянемо випадок, коли точка дотику ділить гіпотенузу на відрізки 3 і 12.
Тоді система рівнянь виглядає так:
a + b = c
ab = 3*12 = 36
Розв'язуємо систему методом підстановок:
b = c - a
a(c - a) = 36
ac - a^2 = 36
a^2 - ac + 36 = 0
Знаходимо дискримінант і корені рівняння:
D = c^2 - 4ab = 324 - 144 = 180
a1 = (c + √D)/2 = (15 + 3√5) см
a2 = (c - √D)/2 = (15 - 3√5) см
Так як a і b величинами симетричні відносно середини гіпотенузи, то
b = (a + 6) см
c = 15 см
Тепер можна знайти периметр трикутника:
P = a + b + c
P = (a + a + 6) + 15
P = 2a + 21
P = 2(15+3√5) + 21
P = 30 + 6√5 + 21
P = 51 + 6√5 см
Тому периметр трикутника дорівнює 51 + 6√5 см.