1. Знайдіть дискримінат квадратного тричлена і запишіть кількість його коренів:
1) x² + 2x - 3
2) x² - x + 7
2. Розкладіть на множники квадратний тричлен:
1) x² - 4x - 5
2) -2x² + 5x - 3
3. Розв'яжіть рівняння:
1) х⁴ - 3х² - 4 = 0
2) x² 4
——— = ———
x + 2 x + 2
Ответы
Ответ:
1. Дискримінант квадратного тричлена ax² + bx + c дорівнює D = b² - 4ac.
a) Дискримінант квадратного тричлена x² + 2x - 3 дорівнює D = 2² - 4(1)(-3) = 16. Кількість коренів дорівнює двом, оскільки D > 0.
б) Дискримінант квадратного тричлена x² - x + 7 дорівнює D = (-1)² - 4(1)(7) = -27. Кількість коренів дорівнює нулю, оскільки D < 0.
2. Розкладемо кожен квадратний тричлен на множники за допомогою формули розкладу на множники:
a² - b² = (a + b)(a - b)
a) x² - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)
б) -2x² + 5x - 3 = (-2x + 3)(x - 1)
3.
а) Перепишемо рівняння у вигляді квадратного тричлена заміною х² = у:
у² - 3у - 4 = 0
Розв'яжемо цей квадратний тричлен за допомогою формули коренів квадратного тричлена:
у₁,₂ = (3 ± √(3² + 4·1·4))/2 = (3 ± 5)/2
Отже, у₁ = 4 або у₂ = -1.
Повертаємось до заміни х² = у:
х² = 4 або х² = -1
х₁ = 2, х₂ = -2, х₃ = i, х₄ = -i.
б) Перепишемо рівняння у вигляді:
x² - 4x - 4 + 8
——————— = ———
x + 2 x + 2
x² - 4x - 4 + 8 = (x - 2)²
(x - 2)²/(x + 2) = 1
(x - 2)² = (x + 2)
x² - 4x + 4 = x + 2
x² - 5x + 2 = 0
Розв'яжемо цей квадратний тричлен за допомогою формули коренів квадратного тричлена:
x₁,₂ = (5 ± √(5² - 4·1·2))/2 = (5 ± √17)/2
Отже, x₁ = (5 + √17)/2 або x₂ = (5 - √17)/2.