Question

Внутри квадрата ABCD обозначили точку Е так, что треугольник AED оказался равносторонним. Диагональ АС пересекает отрезок DE в точке F. Докажите, что CF=СЕ.

Answer 1

Ответ:

Рассмотрим треугольники ABC и AED.

Так как треугольник AED равносторонний, то угол $\angle ADE$ равен $60^\circ$

Также из равенства сторон AE=AD следует, что угол $\angle AED$ равен углу $\angle ADE$ и также равен $60^\circ$

Таким образом, мы получаем, что треугольники ABC и AED подобны по двум углам, а значит, отношение длин соответствующих сторон равно отношению длин двух других соответствующих сторон:

$\frac{CE}{AB} = \frac{AE}{AC}.$

Также заметим, что треугольники ABC и ACD подобны по двум углам, поэтому отношение длин соответствующих сторон равно отношению длин двух других соответствующих сторон:

$\frac{CF}{AB} = \frac{AC}{AD}.$

Из условия задачи следует, что AD = AE, поэтому:

$\frac{CE}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AC}$

Также заметим, что AB = AC, так как это стороны равностороннего треугольника ABC. Подставим это в предыдущее равенство и получим:

$\frac{CE}{AB} = \frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AC} = \frac{AB}{AC}.$

Умножим обе части на AC и получим:

CE = AB = CF.

Таким образом, мы доказали, что CF = CE, что и требовалось доказать.