Question

Подайте вираз у вигляді добутку cos(y) + cos(7y) +2cos(3y)

Answer 1

Основные формулы:

$\cos(-\alpha )=\cos \alpha$

$\cos\alpha +\cos \beta =2\cos\dfrac{\alpha +\beta }{2}\cos\dfrac{\alpha -\beta }{2}$

$\cos2\alpha =2\cos^2\alpha-1$

Рассмотрим выражение:

$\cos \gamma + \cos7\gamma +2\cos3\gamma=2\cos\dfrac{\gamma+7\gamma}{2} \cos\dfrac{\gamma-7\gamma}{2} +2\cos3\gamma=$

$=2\cos4\gamma \cos(-3\gamma) +2\cos3\gamma=2\cos4\gamma \cos3\gamma +2\cos3\gamma=$

$=\boxed{2\cos3\gamma(\cos4\gamma +1)}$

Мы уже получили произведение, но его можно еще немного преобразовать, если в скобках применить формулу косинуса двойного угла:

$2\cos3\gamma(\cos4\gamma +1)=2\cos3\gamma(2\cos^22\gamma-1+1)=2\cos3\gamma\cdot 2\cos^22\gamma=$

$=\boxed{4\cos^22\gamma\cos3\gamma}$