Question

пожайлуста! срочно надо.
довести тотожності
$\frac{1 - \sin(2x) }{1 + \sin(2x) } = \tan^{2}( \frac{\pi}{4} - x)$
​

Answer 1

Доведення тотожності 1 - sin^2(2x) = cos^2(2x):

За тригонометричною формулою двоїстого кута, маємо:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

1 - sin^2(2x) = 1 - 4sin^2(x)cos^2(x) = (1 - 2sin^2(x))(1 + 2cos^2(x)) = cos^2(2x).

Тепер доведемо, що

tan(2(π/4 - x)) = (1 - sin(2x)) / (1 + sin(2x))

З лівої сторони маємо:

tan(2(π/4 - x)) = tan(π/2 - 2x) = 1/tan(2x)

З правої сторони:

(1 - sin(2x)) / (1 + sin(2x)) = [(1 - sin(2x)) / (1 + sin(2x))] * [(1 - sin(2x)) / (1 - sin(2x))] = (1 - 2sin(2x) + sin^2(2x)) / (1 - sin^2(2x)) = cos^2(2x) / cos^2(2x) = 1/tan^2(2x)

Отже, ми отримали те, що треба довести:

tan(2(π/4 - x)) = (1 - sin(2x)) / (1 + sin(2x))

Тепер застосуємо тотожність tan(2α) = (2tanα) / (1 - tan^2α) для α = π/4 - x, тоді:

tan(2(π/4 - x)) = tan(π/2 - 2x) = (2tan(π/4 - x)) / (1 - tan^2(π/4 - x)) = (2tan(π/4 - x)) / (1 - tan^2(x))

З іншого боку, застосовуючи тотожність, яку ми довели на початку, маємо:

(1 - sin(2x)) / (1 + sin(2x)) = cos^2(2x) / (1 - sin^2(2x)) = cos^2(2x) / cos^2(2x) = 1

Отже, ми отримали те, що треба довести:

tan(2(π/4 - x)) = (1 - sin(2x)) / (1 + sin(2x)) = tan(2x)

А отже, тотожність доведена.