Question

ОЧЕНЬ СРОЧНООО!!! ДАМ 100 БАЛЛОВ!!!

1) Розв'язати рівняння, звівши його до однорідного:
2sin²x + 2sinxcosх-2cos²x=1

2) Знайти корені рівняння tgx - 3сtgx + 2 = 0, які належать проміжку (0,π/2)​

Answer 1

Ответ: 1) Розв'язання рівняння, звідси, зводимо його до однорідного:

2sin²x + 2sinxcosx - 2cos²x = 1

Спростимо вираз, використовуючи тригонометричні тотожності:

2sin²x + 2sinxcosx - 2(1 - sin²x) = 1

2sin²x + 2sinxcosx - 2 + 2sin²x = 1

4sin²x + 2sinxcosx - 3 = 0

Тепер зводимо до однорідного рівняння, підставивши sinx = t:

4t² + 2t(1 - t²) - 3 = 0

4t² + 2t - 2t³ - 3 = 0

Перепишемо рівняння у зворотному порядку:

-2t³ + 4t² + 2t - 3 = 0

Застосуємо метод перебору значень t, щоб знайти його корені:

t = 1 є розв'язком рівняння.

Розділимо рівняння на (t - 1):

(-2t³ + 4t² + 2t - 3) / (t - 1) = 0

Залишившись з квадратного тричлена, отримуємо:

-2t² + 2t + 3 = 0

Тепер можна розв'язати це квадратне рівняння:

t² - t - 3/2 = 0

Застосуємо квадратне рівняння:

t = (1 ± √(1 + 4(3/2))) / 2

t = (1 ± √(1 + 6)) / 2

t = (1 ± √7) / 2

Отже, маємо три значення t: 1, (1 + √7)/2 та (1 - √7)/2.

Підставимо ці значення t у вираз sinx = t, щоб знайти відповідні значення x:

Для t = 1: sinx = 1 => x = π/2 + 2πk, де k - ціле число.

Для t = (1 + √7)/2: sinx = (1 + √7)/2 => x = arcsin((1 + √7)/2) + 2πk або x = π - arcsin((1 + √7)/2) + 2πk, де k - ціле число.

2) Знайдемо корені рівняння tgx - 3ctgx + 2 = 0, які належать проміжку (0, π/2).

Для зручності позначимо ctgx як 1/tgx:

tgx - 3/tgx + 2 = 0

Помножимо всі члени рівняння на tgx, щоб позбутися дробів:

(tgx)² - 3 + 2(tgx) = 0

Позначимо tgx як t:

t² - 3 + 2t = 0

t² + 2t - 3 = 0

Тепер ми маємо квадратне рівняння. Розв'яжемо його:

(t + 3)(t - 1) = 0

t + 3 = 0 або t - 1 = 0

t = -3 або t = 1

Повертаємося до змінної tgx:

tgx = -3 або tgx = 1

Для tgx = -3:

x = arctg(-3) + kπ, де k - ціле число.

Для tgx = 1:

x = arctg(1) + kπ, де k - ціле число.

На проміжку (0, π/2) будуть належати тільки ті значення x, для яких tgx > 0. Тому ми виключаємо розв'язок x = arctg(-3) + kπ, оскільки tgx < 0.

Таким чином, корені рівняння tgx - 3ctgx + 2 = 0, які належать проміжку (0, π/2), є:

x = arctg(1) + kπ, де k - ціле число.

Объяснение: