Question

Розв’язування задач складанням систем рівнянь
1. ( 3 бали) За 7 кг апельсинів і 4 кг лимонів заплатили 350 грн. Знайдіть
вартість 1 кг апельсинів і 1 кг лимонів, якщо 5 кг апельсинів на 80 грн
дорожче 2 кг лимонів.
2. (4 бали) За 4 год руху за течією річки і 3 год по озеру катер пройшов 148
км. Знайдіть власну швидкість катера, якщо за 5 год руху проти течії річки
він проходить на 50 км більше, ніж за 2 год по озеру.
3. ( 5 балів) Скільки грамів 3% і скільки грамів 8% розчинів солі треба взяти,
щоб отримати 260 г 5% розчину?
При перевірці враховується:
1. Пояснення щодо вибору змінних
2. Правильно складена система рівнянь
3. Правильне і повне розв’язання систем рівнянь
4. Наявність відповіді ДО ЗАДАЧІ.

Answer 1

1. Позначимо вартість 1 кг апельсинів через а, а 1 кг лимонів - через л.

Тоді за умовою маємо систему рівнянь:

7а + 4л = 350 (1)

5а - 2л = 80 (2)

Розв'язуючи цю систему методом спільних множників, маємо:

5(7а + 4л = 350) = 35а + 20л = 1750 (1')

2(5а - 2л = 80) = 10а - 4л = 160 (2')

Потім складаємо систему з двох рівнянь:

35а + 20л = 1750

10а - 4л = 160

Множимо друге рівняння на 5 і додаємо до першого:

35а + 20л + 50а - 20л = 1950

85а = 1950

а = 23

Підставляємо отримане значення а у будь-яке з двох рівнянь системи (1 або 2), щоб знайти l:

5 * 23 - 2l = 80

l = 57.5

Отже, вартість 1 кг апельсинів - 23 грн, вартість 1 кг лимонів - 57.5 грн.

2. Позначимо шукану власну швидкість катера через v, а швидкість течії річки - через u.

Тоді за умовою маємо систему рівнянь:

4(v + u) + 3v = 148 (1)

5(v - u) = 50 (2)

Розв'язуємо цю систему, спочатку перетворивши друге рівняння:

5v - 5u = 50

v - u = 10

v = u + 10

Підставляємо це значення у перше рівняння:

4(2u + 10) + 3(u + 10) = 148

11u + 52 = 37

u = -1.5

Отже, швидкість течії річки - 1.5 км/год, а швидкість катера - 8.5 км/год.

3. 1. Введемо змінні x та y для позначення кількості грамів 3% і 8% розчинів відповідно, які потрібно взяти.

2. Складаємо систему рівнянь за умовою задачі:

- Загальна кількість отриманого розчину становить 260 г: x + y = 260.

- Відсотковий склад розчину становить 5%: 0.03x + 0.08y = 0.05 * 260.

3. Розв’язуємо систему рівнянь за допомогою методу елімінації:

- Помножимо друге рівняння на 100, щоб позбутися дробів: 3x + 8y = 1300.

- Помножимо перше рівняння на 3 і віднімемо від другого, щоб отримати рівняння з однією змінною: 5y = 250, звідки y = 50.

- Підставимо y = 50 у перше рівняння і отримаємо x = 210.

4. Відповідь: потрібно взяти 210 г 3% розчину і 50 г 8% розчину, щоб отримати 260 г 5% розчину.