Площа прямокутного трикутника дорівнює 9 кв.см. Якою повинна бути гіпотенуза цього трикутника, щоб сума його катетів була найменшою?
Ответы
Прямокутний трикутник складається з катетів (сторін, що прилягають до прямого кута) та гіпотенузи (найбільшої сторони, що лежить напроти прямого кута). За теоремою Піфагора, квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:
c² = a² + b²
де c - гіпотенуза, a і b - катети.
Треба знайти таке значення c, при якому сума a і b буде мінімальною. Можна використати метод диференційованого обчислення, або скористатися властивістю трикутника, що сума довжин будь-яких двох його сторін завжди більша за довжину третьої сторони. Оскільки у нашому випадку сторони - катети, то їх сума завжди буде меншою за гіпотенузу. Тому, щоб знайти мінімальну суму катетів, потрібно зробити гіпотенузу якомога меншою.
Площа прямокутного трикутника дорівнює 9 кв.см. Так як трикутник прямокутний, то площа може бути знайдена як половина добутку довжини його катетів:
S = (ab)/2 = 9
ab = 18
Ми можемо застосувати нерівність між середнім арифметичним та середнім геометричним, щоб отримати оцінку на максимальне значення гіпотенузи:
c = √(a² + b²) ≥ (a+b)/√2
c ≥ (a+b)/√2 = 2√(ab)/√2 = 2√(ab) = 2√18 ≈ 8.49
Отже, гіпотенуза повинна бути не менше 8.49 см. Для досягнення мінімальної суми катетів, гіпотенузу потрібно зробити саме 8.49 см.