Question

Задан равносторонний треугольник ABC, в который вписана окружность радиусом 3√3.

Найдите:
а) площадь треугольника;
б) радиус описанной около треугольника АВС окружности;
в) длину меньшей дуги АВ.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

а) Площадь равностороннего треугольника ABC можно вычислить, зная длину его стороны. Радиус описанной окружности равен двум радиусам вписанной окружности, то есть 6√3. Так как треугольник ABC равносторонний, все его стороны равны, и длина каждой стороны равна 2 * радиус вписанной окружности:

AB = BC = AC = 2 * 3√3 = 6√3.

Площадь равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

S = (a^2 * √3) / 4,

где a - длина стороны треугольника. Подставляя значения, получаем:

S = (6√3)^2 * √3 / 4 = 54√3.

Ответ: S = 54√3.

б) Радиус описанной около треугольника АВС окружности можно вычислить по формуле:

R = a / (2 * sin(α)),

где a - длина стороны треугольника, α - любой угол треугольника. Так как треугольник ABC равносторонний, то любой угол равен 60 градусам. Подставляя значения, получаем:

R = 6√3 / (2 * sin(60°)) = 6√3 / √3 = 6.

Ответ: R = 6.

в) Меньшая дуга АВ находится на окружности с радиусом 6, проходящей через вершины треугольника. Длина меньшей дуги АВ равна сотой доле длины окружности, умноженной на угол, соответствующий этой дуге. Угол меньшей дуги АВ равен 60 градусам, так как это треть от центрального угла в 180 градусов. Длина окружности равна 2πR, где R - радиус описанной окружности. Подставляя значения, получаем:

l = (60 / 360) * 2π * 6 = π.

Ответ: l = π.