У прямокутнику ABCD BD = 13 см. Вершина В віддалена від прямої АС на 5 см. Знайдіть площу трикутника ABD. см².
Ответы
Ответ:
Позначимо вершини прямокутника через A, B, C і D, де AB перпендикулярна до AD, а BC перпендикулярна до CD. Діагональ BD має довжину 13 см, а вершина B знаходиться на відстані 5 см від прямої AC. Оскільки трикутник ABD - прямокутний з прямим кутом при вершині A, то для знаходження його площі можна скористатися формулою площі трикутника. Формула стверджує, що площа трикутника з основою b і висотою h дорівнює A = (1/2)bh.
У цьому випадку ми можемо використовувати сторону AD як основу трикутника ABD, а відстань від вершини B до прямої AC як його висоту. Оскільки вершина B знаходиться на відстані 5 см від прямої AC, маємо h = 5. Щоб знайти довжину сторони AD, можна скористатися теоремою Піфагора, яка стверджує, що в прямокутному трикутнику зі сторонами a, b і гіпотенузою довжиною c, маємо a^2 + b^2 = c^2. У цьому випадку маємо:
AD^2 + AB^2 = BD^2
AD^2 + AB^2 = 13^2
AD^2 + AB^2 = 169
Оскільки у прямокутнику ABCD сторони однакової довжини розташовані навпроти одна одної, то AD = BC і AB = CD. Оскільки вершина B віддалена від прямої AC на 5 см, маємо:
AB + BC = AC + 5
AB + AD = AC + 5
AB + AD = BD + 5
AB + AD = 13 + 5
AB + AD = 18
Підставивши це в рівняння, яке ми отримали за допомогою теореми Піфагора, отримаємо
AD^2 + AB^2 = 169
(18 - AB)^2 + AB^2 = 169
324 - 36AB + AB^2 + AB^2 = 169
324 - 36AB + 2AB^2 = 169
2AB^2 - 36AB + 155 = 0
Це квадратне рівняння зі змінною AB. Ми можемо розв'язати його за допомогою квадратної формули, яка стверджує, що якщо рівняння має вигляд ax^2 + bx + c = 0, то його розв'язки мають вигляд
x = (-b +/- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)
У цьому випадку маємо:
a = 2
b = -36
c = 155
AB = (-(-36) +/- sqrt((-36)^2 - 4 * 2 * 155)) / (2 * 2)
= (36 +/- sqrt(1296 - 1240)) / (4)
= (36 +/- sqrt(56)) / (4)
Оскільки довжини сторін мають бути додатними, ми беремо додатний квадратний корінь:
AB = (36 + sqrt(56)) / (4)
≈ (36 + 7.48) / (4)
≈ (43.48) / (4)
≈ 10.87
Тепер, коли ми знаємо довжину сторони AB, ми можемо використати її для знаходження довжини сторони AD. Оскільки у прямокутнику ABCD сторони однакової довжини розташовані одна навпроти одної, то маємо:
AD = BC
AD = AC - AB
AD = BD - AB
AD = 13 - AB
AD ≈ 13 - 10.87
AD ≈ 2.13
Тепер, коли ми знаємо довжини сторін AD і AB та відстань від вершини B до прямої AC, ми можемо використати формулу площі трикутника для знаходження площі трикутника ABD:
A = (1/2)bh
A ≈ (1/2)(AD)(h)
A ≈ (1/2)(2.13)(5)
A ≈ (1/2)(10.65)
A ≈ 5.33
Отже, площа трикутника ABD приблизно дорівнює 5,33 квадратних сантиметрів.
Объяснение:
sqrt - це квадратний корінь.