Question

Площа прямокутного трикутника дорівнює 9 кв.см. Якою повинна бути гіпотенуза цього трикутника, щоб сума його катетів була найменшою?

Answer 1

Нехай катети прямокутного трикутника довжини x та y, а гіпотенуза має довжину z. За теоремою Піфагора, маємо рівняння x^2 + y^2 = z^2.

Площа трикутника дорівнює S = \frac{1}{2} xy = 9 кв.см. Оскільки S - фіксована величина, то ми можемо виразити y через x: y = \frac{18}{x}.

Сума катетів трикутника дорівнює x + y = x + \frac{18}{x}. Нам потрібно знайти мінімум цієї функції.

Для знаходження мінімуму функції візьмемо її похідну відносно x та прирівняємо до нуля:

---Дивись фотографію---

Отже, x^2 = 18 та x = \sqrt{18}. Підставляючи це значення у вираз для y, ми отримуємо y = \frac{18}{\sqrt{18}} = \sqrt{18}.

Таким чином, гіпотенуза трикутника має довжину z = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{18 + 18} = 6\sqrt{2} кв.см, щоб сума його катетів була найменшою.