Question

Основанием треугольной пирамиды является равнобедренный тре- угольник с основанием a и углом α при вершине. Двугранные углы пирамиды при рёбрах основания равны β.
Найдите:
1) площадь боковой поверхности пирамиды;
2) высоту пирамиды. ​

Answer 1

Объяснение:

Для решения задачи воспользуемся формулой для площади боковой поверхности пирамиды и формулой для высоты пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

Sб = (периметр основания * полувысота боковой грани) / 2

Периметр равнобедренного треугольника, являющегося основанием пирамиды, равен:

P = 2a + a*sin(α)

Полувысота боковой грани равна:

h = a*cos(α/2)

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Sб = (2a + asin(α)) * acos(α/2) / 2 = a^2 * sin(α/2) * cos(α/2) * (2 + sin(α))

Высота пирамиды можно вычислить, зная высоту боковой грани и радиус вписанной сферы. Радиус вписанной сферы равен:

r = a/(2*tan(π/4 - α/2))

Высота боковой грани равна:

h = a*cos(α/2)

Высота пирамиды равна:

H = r + h

H = a/(2tan(π/4 - α/2)) + acos(α/2)

Таким образом, высота пирамиды равна сумме радиуса вписанной сферы и высоты боковой грани.