876. В равнобедренный треугольник, основание которого равно
8 см, а прилежащий к нему угол равен 30°, вписан круг. Какова
вероятность того, что произвольно взятая точка треугольника принадлежит этому кругу?
Ответы
Для решения этой задачи нам нужно определить радиус вписанного круга и площадь треугольника, а затем применить формулу вероятности.
Радиус вписанного круга может быть найден с помощью формулы:
r = a * sin(α/2)
где r - радиус круга, a - длина стороны треугольника, α - угол при основании треугольника.
В данном случае, угол при основании равен 30 градусам, а длина основания равна 8 см. Так как треугольник равнобедренный, то длина боковой стороны также равна 8 см. Поэтому:
r = 8 * sin(30/2) ≈ 2.31 см
Чтобы найти площадь треугольника, мы можем воспользоваться формулой Герона:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
где S - площадь треугольника, p - полупериметр (p = (a + b + c)/2), a, b, c - длины сторон треугольника.
В данном случае, треугольник равнобедренный, поэтому a = b = 8 см. Полупериметр равен:
p = (8 + 8 + c)/2 = (16 + c)/2 = 8 + c/2
где c - длина боковой стороны. Из равнобедренности треугольника также следует, что:
c = 2 * a * sin(α/2) = 8 * sin(30/2) = 2.31 * 8 / 4 ≈ 4.62 см
Теперь мы можем вычислить полупериметр:
p = 8 + 4.62/2 ≈ 10.31 см
И площадь треугольника:
S = √(10.31(10.31-8)(10.31-8)(10.31-4.62)) ≈ 23.67 см²
Наконец, вероятность того, что случайно выбранная точка внутри треугольника принадлежит вписанному кругу, равна отношению площади круга к площади треугольника:
P = Sкруга/Sтреугольника = πr²/Sтреугольника
где Sкруга - площадь круга, r - его радиус.
В нашем случае, радиус круга равен 2.31 см, поэтому площадь круга равна:
Sкруга = πr² ≈ 16.76 см