Question

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

(x^2 + √(a - x))^2 = (2x + 1 + √(a - x))^2

имеет единственный корень на отрезке [-1;1]

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\left(x^2+\sqrt{a-x}\right)^2=\left(2x+1+\sqrt{a-x}\right)^2\;\Leftrightarrow\;\left[\begin{array}{c}x^2+\sqrt{a-x}=2x+1+\sqrt{a-x}\\x^2+\sqrt{a-x}=-2x-1-\sqrt{a-x}\end{array}\right;$

Рассмотрим первую строку совокупности:

$x^2+\sqrt{a-x}=2x+1+\sqrt{a-x}\;\Leftrightarrow\;\left\{\begin{array}{c}x^2-2x-1=0\\a-x\ge0\end{array}\right;$

Корни уравнения из первой строки системы будут $x=1\pm\sqrt{2}$.

Нас интересует тот, что с минусом, так как именно он попадает в отрезок $[-1;\;1]$.

Очевидно, что при $a\in\left[1-\sqrt{2},\;+\infty\right)$ рассматриваемый случай дает нам корень $x=1-\sqrt{2}$. То есть тут надо, чтобы второй случай не давал корней на отрезке $[-1;\;1]$. Ну а в противном случае мы, наоборот, хотим, чтобы случай 2 на отрезке $[-1;\;1]$ корень давал.

Рассмотрим теперь вторую строку совокупности:

$x^2+2x+1=-2\sqrt{a-x},\;\Leftrightarrow\;\left(x+1\right)^2=-2\sqrt{a-x}$

Слева что-то, что больше либо равно 0. Справа что-то, что меньше либо равно 0. Тогда равенство возможно только, если что-то слева и справа равно 0 одновременно.

$\left\{\begin{array}{c}x+1=0\\a-x=0\end{array}\right,\;\Leftrightarrow\;\left\{\begin{array}{c}x=-1\\a=-1\end{array}\right;$

То есть такой случай вообще хоть что-то дает только при $a=-1$ и это что-то есть $x=-1$. При других $a$ он ничего не дает (корней нет).

Корень $x=-1$ принадлежит промежутку $[-1;\;1]$. Причем $a=-1$ не входит в $a\in\left[1-\sqrt{2},\;+\infty\right)$.

Тогда итоговый ответ имеет вид:

$a\in\left\{-1\right\}\cup\left[1-\sqrt{2},\;+\infty\right)$

Задание выполнено!