Question

4. Решите систему уравнений

$\left \{ {{\frac{3}{y} -\frac{1}{x} = 1\\} \atop {\frac{x+y}{x} = 3 }} \right.$
И укажите в ответе значение суммы x₀+y₀, где (x₀;y₀) - решение этой системы

а)-1 б)1 в)1,5 г)2,5

Answer 1

Ответ:

В) $x + y = 1,5$

Пошаговое объяснение:

$\left \{ {{\frac{3}{y} -\frac{1}{x} =1, [1]} \atop {\frac{x+y}{x} =3;[2]}} \right.$

Перед нами система уравнений.

При решении систем уравнений мы можем поступать различными способами. Например, мы можем взять уравнение [2] и обе части этого уравнения умножить на "x" (одно из свойств уравнений - обе части в любом уравнении мы можем умножать или делить на одно и то же число).

Тогда мы получим:

$\frac{x(x+y)}{x} = 3x;$

В левой стороне "иксы" сокращаются, так как:

$\frac{x}{x} *\frac{x+y}{1} = 3x;$

Получаем простое равенство:

$x+y=3x;$

Значит (ещё одно свойство уравнений - при переносе числа через знак равно, знак перед числом меняется на противоположный):

$y=3x-x;$

Тогда получаем, что:

$y=2x.$

Теперь, зная, что y = 2x, мы можем заменить "y" на "2x" в уравнении [1]:

$\frac{3}{2x} -\frac{1}{x} = 1;$

Приведём дроби к общему знаменателю (в данном случае, таковым будет 2x), не забыв домножить числители на дополнительные множители (дополнительный множитель - это результат деления нового знаменателя дроби на старый. У нас, для первой дроби, 2x - новый знаменатель, делим на старый знаменатель - тоже 2х. Значит 2х : 2х = 1, значит дополнительный множитель - 1, умножим на него числитель той же дроби. Со второй дробью поступаем аналогично, только новый знаменатель равен 2х, а вот старый - х. Значит дополнительным множителем для второй дроби будет: 2х : х = 2):

$\frac{3*1}{2x} -\frac{1*2}{2x} =1;$

$\frac{3-2}{2x} =1;$

$\frac{1}{2x} =1;$

Либо из определения деления чисел (делитель равен частному делимого и частного), либо из логики (в результате деления частное может быть равно 1 только тогда, когда делимое и делитель равны), получаем:

$2x=1;$

Отсюда (либо из свойств умножения - множитель равен частному произведения и другого множителя; либо из свойств уравнения - обе части мы можем разделить на одно и тоже число) получаем:

$x = \frac{1}{2};$

$x=0,5.$

Теперь, зная "x", нетрудно найти "y", подставив "x" в любое из уравнений. В данном случае нам проще подставить "x" в уравнение [2], так как там одна дробь:

$\frac{0,5+y}{0,5} =3;$

Из определения деления (делимое равно произведению делителя и частного):

$0,5+y=0,5*3;$

$0,5+y=1,5;$

Перенесём 0,5 в правую сторону уравнения (поменяв знак!):

$y = 1,5-0,5;$

$y= 1.$

Итого мы получаем, что:

$\left \{ {{x=0,5,} \atop {y=1.}} \right.$

В задании просится найти сумму корней "x" и "y", значит:

$x+y=0,5+1=1,5.$
__________

Удачи Вам! :)