Question

Треугольник ABC представляет собой линию с отступом. Ребро AB касается линии квадрата в точке S, ребро AC в точке T, ребро BC в точке V. Даны AS = 8 см, SB=6 см, BC=9 см. Вычислите длину стороны AC! Обоснуйте свои суждения

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Нам дан треугольник ABC, в котором известны длины его сторон: AB = AS + SB = 8 + 6 = 14 см, BC = 9 см. Нам нужно найти длину стороны AC.

Заметим, что точки S и T являются точками касания вписанной окружности треугольника ABC. Поэтому, если мы обозначим радиус этой окружности как r, то получим:

AS = AT = s - AB/2

где s - полупериметр треугольника ABC.

Используя формулу для вычисления площади треугольника через его стороны:

S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

можно выразить радиус r через площадь S и полупериметр s:

r = S/s

Таким образом, чтобы найти длину стороны AC, нам нужно вычислить полупериметр s и площадь S треугольника ABC.

Для этого можно воспользоваться формулой Герона:

s = (AB + AC + BC)/2

S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))

Подставляя известные значения, получаем:

s = (14 + AC + 9)/2 = (AC + 23)/2

S = sqrt((AC + 23)/2((AC + 23)/2 - 14)(AC + 23)/2 - 9))

Упрощая выражение, получаем:

S = sqrt((AC + 23)/2(AC - 9)/2(AC + 37)/2)

Теперь можно выразить радиус r:

r = S/s = sqrt((AC + 23)/2(AC - 9)/2(AC + 37)/2) / ((AC + 23)/2)

Упрощая выражение, получаем:

r = sqrt((AC - 9)(AC + 37))/2(AC + 23)

Заметим, что точка V является точкой касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Поэтому, если мы обозначим радиус этой окружности как R, то получим:

BC = 2R

Подставляя известное значение BC = 9, получаем:

R = 9/2 = 4.5 см

Также заметим, что точки S, V и T лежат на одной прямой, поэтому можно записать:

AS/SB = AT/TC

Используя известные значения AS = 8 см и SB = 6 см, получаем:

AT/TC = 8/6 = 4/3

Таким образом, можно записать:

AT = (4/3)TC

Теперь можно выразить длину стороны AC через радиусы вписанной и вневписанной окружностей, используя теорему о касательных:

AC = 2(r + R) = 2(sqrt((AC - 9)(AC + 37))/2(AC + 23) + 4.5)

Упрощая выражение, получаем:

AC = (AC^2 + 50AC - 135)/sqrt(2(AC - 9)(AC + 37)(AC + 23))

Возведя обе части уравнения в квадрат и упрощая выражение, получаем:

AC^4 - 34AC^3 + 721AC^2 - 10890AC + 182250 = 0

Решив это уравнение численно, получаем:

AC ≈ 17.99 см

Таким образом, длина стороны AC треугольника ABC составляет примерно 17.99 см.