у трикутнику abc вписано кола. K, M, N — точки дотику кола до сторін трикутника AB, BC і AC відповідно. AN : NC = 2:3 BM =8см. периметр трикутника 46см. знайти сторони трикутника
СРОЧНО У МЕНЯ КР
Ответы
Ответ:
Нехай A, B, C - точки дотику вписаного кола з відповідними сторонами BC, AC і AB.
Нехай D - точка перетину ліній AN і CM.
Тоді AD і CD є бісектрисами трикутника ABC і зустрічають BC і AB з точками дотику кола відповідно в N і A.
За теоремою про бісектриси маємо:
AC / AB = CN / BN = 3 / 2
Отже, BC / AB = 5 / 2.
Також маємо BM = MC = 8см.
За формулою півпериметра:
s = (a + b + c) / 2,
де s - півпериметр трикутника,
a, b, c - довжини сторін трикутника,
отримуємо:
a + b + c = 92
З теореми Піфагора для трикутника ABN маємо
AN ^ 2 + BN ^ 2 = AB ^ 2,
тобто
AN ^ 2 + (s - a) ^ 2 = r ^ 2,
де r - радіус вписаного кола.
Аналогічно, для трикутника BCM маємо
MC ^ 2 + BC ^ 2 = BM ^ 2,
тобто
(s - c) ^ 2 + BC ^ 2 = r ^ 2.
Підставляємо дані, отримуємо:
AN ^ 2 + (s - a) ^ 2 = r ^ 2,
(MC ^ 2 + BC ^ 2) + (s - b) ^ 2 = r ^ 2,
AN ^ 2 + (s - a) ^ 2 = (MC ^ 2 + BC ^ 2) + (s - b) ^ 2.
Підставляємо вирази для AN, CN, BM і BC залежно від AB і отримуємо:
(3 / 5) * (s - a) ^ 2 + (2 / 5) * (s - b) ^ 2 = 64.
Також відомо, що AD і CD є бісектрисами трикутника ABC, тобто
BD / DC = AB / AC = 2 / 3.
З цього ми можемо знайти довжини BC і AB, тобто:
BC = (3 / 5) * BD,
AB = (5 / 2) * BD.
Підставляємо