ДАМ 50 БАЛОВЗадание решить с полным объяснением
Решить задачу:
В равнобедренном треугольнике вписан круг. Точку касания делить боковую сторону треугольника в отношении 9:8, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.
Ответы
Пусть AB и AC - боковые стороны равнобедренного треугольника ABC, а O - центр вписанной окружности, которая касается стороны BC в точке D.
Точка касания окружности с боковой стороной BC делит ее на отрезки BD и DC, причем BD:DC = 9:8. Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота, опущенная на боковую сторону, также является биссектрисой угла при вершине A. Поэтому точка касания лежит на биссектрисе угла A и делит ее в отношении AB:AC = 1:1.
Обозначим через h высоту треугольника ABC, а через r - радиус вписанной окружности. Тогда, так как точка касания лежит на биссектрисе, расстояние от этой точки до стороны AB равно h/2, а расстояние до стороны AC также равно h/2. Так как точка касания находится на радиусе, ведущем из центра вписанной окружности в точку касания, то получаем систему уравнений:
h/2 + r = 9x
h/2 + r = 8y
h = 2r + 2xh/AB + 2yh/AC
где x = 9/(9+8) = 9/17, y = 8/(9+8) = 8/17.
Решая эту систему уравнений, находим r = 16 см, h = 48 см, AB = AC = 40 см.
Площадь равнобедренного треугольника равна S = (AB^2/4) = (AC^2/4) = 400 см^2.
Ответ: площадь треугольника равна 400 квадратных сантиметров.