Question

 

____1_______        +      __1______       +____1__________      +    .............+ _________

 1000*1019                      1019*1038            1038*1057                                         1988*2007   

Answer 1

$frac{1}{1000*1019}+frac{1}{1019*1038}+frac{1}{1038*1057}+...frac{1}{1988*2007}=\\frac{1019-1000}{1000*1019}*frac{1}{19}+frac{1038-1019}{1038*1019}*frac{1}{19}+\\+frac{1057-1038}{1038*1057}*frac{1}{19}+...+frac{2007-1988}{1988*2007}*frac{1}{19}=\\frac{1}{19}*(frac{1}{1000}-frac{1}{1019}+frac{1}{1019}-frac{1}{1038}+frac{1}{1038}-frac{1}{1057}+...+\\frac{1}{1998}-frac{1}{2057})=\\frac{1}{19}*(frac{1}{1000}-frac{1}{2007})=frac{2007-1000}{1000*2007*19}=frac{53}{2007000}$