Question

3 У колі з центром О проведено дві рівні хорди AB і CD. 2) Доведіть, що AC=BD.

Answer 1

Відповідь:

AC = AO + OC = DO + OB = BD, що і треба було довести.

Пояснення:

Звернемо увагу, що хорди AB і CD розділяють коло на 4 дуги. За теоремою про хорди, що ділять коло на 4 дуги, дуги, які містять AB і CD, мають однакову міру кута.

Також відомо, що хорди AB і CD є рівними, отже, вони мають однакову довжину.

Позначимо точку перетину хорд за М. Тоді за властивостями кола, кут AOM дорівнює куту COM, а кут BOM дорівнює куту DOM.

Отже, трикутники AOM і DOM є подібними, так само як і трикутники BOM і COM.

З цього випливає, що співвідношення між сторонами трикутників AOM і DOM дорівнює співвідношенню між сторонами трикутників BOM і COM.

Оскільки хорди AB і CD є рівними, то сторони трикутників AOM і DOM також є рівними. Аналогічно, сторони трикутників BOM і COM є рівними.

Отже, AC = AO + OC = DO + OB = BD, що і треба було довести.