Ответы
Ответ:
(1, 4/3) ∪ (4/3, +∞).
Объяснение:
Для решения данного неравенства нужно найти корни квадратного трехчлена 3x² - 7х + 4 и определить, в каких интервалах между корнями функция принимает отрицательные значения.
Найдем корни квадратного трехчлена:
D = (-7)² - 4*3*4 = 1
x₁ = (7 + √1)/(2*3) = 4/3
x₂ = (7 - √1)/(2*3) = 1
Таким образом, корни квадратного трехчлена равны x₁ = 4/3 и x₂ = 1.
Построим график функции y = 3x² - 7х + 4:
{{{ graph( 300, 200, -2, 3, -2, 5, 3x^2-7x+4) }}}
Заметим, что функция имеет минимум в точке x = 7/6, который находится между корнями. В интервале между корнями функция принимает отрицательные значения:
(1, 4/3) ∪ (4/3, +∞)
Ответ: решением неравенства является множество всех значений x, принадлежащих интервалу (1, 4/3) ∪ (4/3, +∞).
корни квадратного уравнения 3x² - 7х + 4 = 0:
D = (-7)² - 4·3·4 = 49 - 48 = 1
x₁ = (7 + 1)/6 = 4/3
x₂ = (7 - 1)/6 = 1
график функции y = 3x² - 7х + 4:
рассмотрим поведение функции на каждом из интервалов между корнями:
-∞ < x < 1 :
при x → -∞ , 3x² - 7х + 4 → +∞, т.е. функция положительна.
при x = 1 , 3x² - 7х + 4 = 0.
при x → 1^-, 3x² - 7х + 4 → 0- , т.е. функция отрицательна.
1 < x < 4/3 :
при x → 1^+, 3x² - 7х + 4 → 0- , т.е. функция отрицательна.
при x = 4/3 , 3x² - 7х + 4 = 0.
при x → 4/3^+, 3x² - 7х + 4 → +∞, т.е. функция положительна.
x > 4/3 :
при x → +∞ , 3x² - 7х + 4 → +∞, т.е. функция положительна.
ответ: неравенство 3x² - 7х + 4 < 0 выполняется на интервалах (1; 4/3).