Question

Бічні грані правильної шестикутної призми є квадратами,
а її більша діагональ дорівнює d. Знайдіть об’єм призми. ДЯКУЮ!

Answer 1

Ответ:

Объем призмы равен   $\displaystyle \bf \frac{3\sqrt{15}\;d^3 }{50}$   (ед³)  

Объяснение:

Боковые грани правильной шестиугольной призмы являются квадратами, а ее большая диагональ равна d. Найдите объем призмы.

Дано: ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ - правильная призма.

ЕВ₁  = d - диагональ.

Боковые грани призмы - квадраты.

Найти: V призмы.

Решение:

• Объем призмы равен:

      V = Sосн. · Н,

где Н - высота призмы.

• Площадь правильного шестиугольника найдем по формуле:

      S = 3a²√3/2,

где а - сторона шестиугольника.

1. Найдем площадь основания.

Пусть сторона шестиугольника - а.

• Наибольшая диагональ правильного шестиугольника равна удвоенной стороне шестиугольника.

⇒ ВЕ = 2а

Рассмотрим ΔВВ₁Е - прямоугольный.

Боковые грани призмы - квадраты.

⇒ ВВ₁ = а

По теореме Пифагора:

В₁Е² = ВВ₁² + ВЕ²

d² = a² + 4a²

5a² = d²

a² = d²/5    ⇒   a = d/√5          

Можем найти площадь основания:

 $\displaystyle \bf S_{OCH.}=\frac{3\sqrt{3} \cdot d^2}{2\cdot 5}=\frac{3\sqrt{3}\;d^2 }{10}$

2. Ищем объем призмы:

 $\displaystyle \bf V=\frac{3\sqrt{3} \cdot d^2}{10}\cdot \frac{d}{\sqrt{5} } =\frac{3\sqrt{3} \;d^3}{10\sqrt{5} }=\frac{3\sqrt{15}\;d^3 }{50}$   (ед³)  

#SPJ1