Знайти точку перетину площини АВС (яка проходить через точки А,В,С ) і прямої L, що проходить через точку М перпендикулярно до площини АВС, якщо:
А(3,3,1) В(-1,3,-2) С(1,0,-2) М(7,3,4)
Ответы
Нормальний вектор площини АВС можна знайти з векторного добутку векторів AB і AC:
AB = B - A = (-1, 3, -2) - (3, 3, 1) = (-4, 0, -3)
AC = C - A = (1, 0, -2) - (3, 3, 1) = (-2, -3, -3)
Нормальний вектор N буде дорівнювати їх векторному добутку:
N = AB × AC = (-4, 0, -3) × (-2, -3, -3) = (9, -6, -12)
Таким чином, рівняння площини АВС:
9x - 6y - 12z + D = 0
Щоб знайти D, підставимо координати будь-якої точки, наприклад, точки С:
9(1) - 6(0) - 12(-2) + D = 0
D = -9
Таким чином, рівняння площини АВС:
9x - 6y - 12z - 9 = 0
Пряма L проходить через точку М і її напрямний вектор буде збігатися з вектором N, оскільки він перпендикулярний до площини АВС:
L: r = (7, 3, 4) + t(9, -6, -12)
Точку перетину площини та прямої можна знайти, підставивши рівняння прямої в рівняння площини:
9(7 + 9t) - 6(3 - 6t) - 12(4 - 12t) - 9 = 0
Розв’язавши це рівняння, отримаємо t = -1/3. Підставляємо значення t в рівняння прямої, щоб знайти точку перетину:
r = (7, 3, 4) + (-1/3)(9, -6, -12) = (4, 5, 0)
Точка перетину площини та прямої має координати (4, 5, 0).