Question

Знайти найменше значення функції f(x)=x³+3x²-72x+90 на відрізку [-5;5]

Answer 1

Для знаходження найменшого значення функції на заданому відрізку необхідно спочатку знайти критичні точки та точки екстремуму функції f(x). Зробимо це крок за кроком.

1. Обчислення похідної функції f(x) за формулою (f(x))' = 3x² + 6x - 72.

2. Розв'язання рівняння (f(x))' = 0, щоб знайти критичні точки:

3x² + 6x - 72 = 0

x² + 2x - 24 = 0

(x + 6) (x - 4) = 0

x₁ = -6, x₂ = 4

Таким чином, ми отримали дві критичні точки: x₁ = -6 та x₂ = 4.

3. Перевірка критичних точок на наявність точок екстремуму за допомогою другої похідної f''(x):

f''(x) = 6x + 6

f''(-6) = -30 (точка мінімуму)

f''(4) = 30 (точка максимуму)

Отже, точка x₁ = -6 є точкою мінімуму функції f(x), а точка x₂ = 4 є точкою максимуму функції.

4. Обчислення значення функції f(-5), f(-6), f(4), f(5) на відрізку [-5;5], і вибір найменшого значення серед них:

f(-5) = -20

f(-6) = -54

f(4) = 10

f(5) = 150

Таким чином, найменше значення функції f(x) на відрізку [-5;5] дорівнює -54, і досягається у точці x = -6.

Отже, відповідь: найменше значення функції f(x)=x³+3x²-72x+90 на відрізку [-5;5] дорівнює -54, і досягається у точці x = -6.