Знайти загальний розв’язок диференціальних рівнянь 2-го порядку, що допускають пониження порядку:
Ответы
Ответ:
Для розв'язання даного диференціального рівняння 2-го порядку, що допускає пониження порядку, спочатку позначимо y' як нову змінну:
y' = v.
Тоді, застосовуючи цю заміну, отримаємо:
y'' = (dv/dx).
Підставляючи це у вихідне рівняння, отримуємо:
(dv/dx) = Inx.
Тепер ми маємо лінійне диференціальне рівняння першого порядку, яке можна легко розв'язати. Інтегруємо обидві частини рівняння:
∫(dv/dx) dx = ∫Inx dx.
Отримуємо:
v = ∫Inx dx.
Для знаходження виразу для v, використаємо формулу інтегрування за частинами:
∫u dv = uv - ∫v du.
Оберемо u = Inx та dv = dx, тоді du = (1/x) dx та v = x.
Підставляючи ці значення, отримаємо:
∫Inx dx = xInx - ∫x (1/x) dx.
Спрощуємо вираз:
∫Inx dx = xInx - ∫dx = xInx - x + C,
де C - довільна константа.
Таким чином, отримали вираз для v:
v = xInx - x + C.
Тепер, щоб знайти розв'язок вихідного рівняння, потрібно знайти y. Для цього інтегруємо v:
y = ∫v dx.
Підставляємо вираз для v:
y = ∫(xInx - x + C) dx.
Знову використовуємо формулу інтегрування за частинами:
∫u dv = uv - ∫v du.
Оберемо u = xInx - x + C та dv = dx, тоді du = (Inx) dx та v = x.
Підставляємо ці значення та обчислюємо інтеграл:
y = ∫(xInx - x + C) dx = ∫(xInx) dx - ∫(x dx) + ∫(C dx).
Знову спрощуємо вираз:
y = ∫(xInx) dx - ∫(x dx) + ∫(C dx) = x^2(Inx - 1) + Cx + D,
де D - ще одна довбільна константа.
Таким чином, загальний розв'язок диференціального рівняння другого порядку y" = Inx має вигляд:
y = x^2(Inx - 1) + Cx + D,
де C і D - довільні константи.
Будь ласка, зверніть увагу, що в даному розв'язку використано метод пониження порядку, де ми вводимо нову змінну v = y' для отримання лінійного диференціального рівняння першого порядку. Згодом, інтегруючи це рівняння, ми отримуємо загальний розв'язок у вигляді функції y(x).