Question

Точка Д- середина катета ВС рівнобедреного прямокутного трикутника АВС<С=90°. Відстань від точки Д до гепотинузи трикутника на 15см менша від гіпотенузи. Знайдіть гіпотезу трикутника

Answer 1

Ответ:

Гипотенуза треугольника равна 20 см.

Объяснение:

Точка D - середина катета ВС равнобедренного прямоугольного треугольника АВС. ∠C = 90°. Расстояние от точки D до гипотенузы треугольника на 15 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу треугольника.

Дано: ΔАВС - прямоугольный, равнобедренный;

∠С = 90°;

D ∈ BC; BD = DC;

DE - расстояние от D до АВ;

AB = DE + 15 (см).

Найти: АВ.

Решение:

• Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

⇒ DE ⊥ AB

Пусть DE = x см, тогда АВ = (х + 15) см.

Рассмотрим ΔАВС - прямоугольный, равнобедренный;

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

⇒ ∠А = ∠В

• Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠А = ∠В = 90° : 2 = 45°

Рассмотрим ΔDEB - прямоугольный.

∠ЕDВ = 90° - ∠B = 90° - 45° = 45°

• Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

⇒ DE = EB = x см.

По теореме Пифагора:

• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

BD² = DE² + EB² = 2x²   ⇒   BD = √2 · х см

⇒ BD = DC = √2 · x см, ВС = АС = 2√2 ·х (см)

По теореме Пифагора из ΔАВС:

АВ² = ВС² + АС²

(х + 15)² = 8х² + 8х²

х² + 30х + 225 = 16х²

15х² - 30х - 225 = 0     |:15

x² - 2x - 15 = 0

D = 4 + 60 = 64   ⇒   √D = 8

x₁ = (2 + 8)/2 = 5;     x₂ = (2 - 8)/2 = -3

x₂ - не подходит по условию задачи.

⇒ DE = 5 см

Тогда АВ = 5 + 15 = 20 (см)

Гипотенуза треугольника равна 20 см.

#SPJ1