Question

Над диском, который может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр инерции, подвешен второй такой же диск. Найти, момент сил трения M, действующих на верхний диск, если нижний диск вращается с угловой скоростью w. Радиусы дисков R, расстояние между дисками d, коэффициент вязкости воздуха n. (Тема: вязкость, движение тел в жидкости и газах.)

Answer 1

Розглянемо верхній диск. Момент інерції диска відносно вертикальної осі, що проходить через його центр інерції, дорівнює I = (1/2) * m * R^2, де m - маса диска, а R - його радіус.

Момент сил трения, що діє на диск, залежить від кутової швидкості його обертання та від коефіцієнта в'язкості повітря. За законом Стокса момент сил трения пропорційний кутовій швидкості та коефіцієнту в'язкості повітря: M = -n * w * R^2, де w - кутова швидкість диска, а n - коефіцієнт в'язкості повітря.

Тепер розглянемо нижній диск. За законом збереження моменту інерції нижнього диска дорівнює моменту інерції верхнього диска: I = (1/2) * m * R^2.

Момент сил третя на нижній диск дорівнює M = I * α, де α - кутове прискорення, рівне кутовому прискоренню верхнього диска, тобто α = w^2 * R / d, де d - відстань між центрами дисків.

Таким чином, момент сил третя на верхній диск дорівнює:

M = -n * w * R^2 = I * α = (1/2) * m * R^2 * w^2 * R / d.

Отже, момент сил третя на верхній диск дорівнює:

M = -(1/2) * m * n * w * R^3 / d.

Ця формула дозволяє визначити момент сил третя на верхній диск в залежності від кутової швидкості нижнього диска, коефіцієнта в'язкості повітря, радіусів дисків та їх відстані.