Question

2. Точки А(2; 4; -4), B(1; 1; -3), C(-2; 0; 5), Д(-1; 3; 4) являются вершинами параллелограмма АВСД. Найдите угол параллелограмма.​

Answer 1

Ответ:

61°

Объяснение:

Точки А ( 2; 4; - 4) , В( 1; 1; - 3),  С (- 2; 0; 5) , D (- 1; 3; 4) являются вершинами параллелограмма АВСD. Найдите угол параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм АВСD, заданный своими вершинами.

Угол А - это угол между векторами $\vec {AB}$  и $\vec {AD}$. Найдем косинус этого угла.

Найдем координаты данных векторов, для этого от координат конца вектора вычтем координаты начала вектора.

$\vec {AB}(-1;-3;1);\\\vec {AD}(-3;-1;8)$

Найдем скалярное произведение как сумму произведений одноименных координат

$\vec {AB}\cdot \vec {AD}=-1\cdot (-3) +(-3)\cdot(-1) +1\cdot 8=3+3+8=14$

Найдем длины векторов как корень квадратный из суммы квадратов координат.

$|\vec {AB}|= \sqrt{(-1)^{2} +(-3)^{2} +1^{2} } =\sqrt{1+9+1} =\sqrt{11} ;\\|\vec {AD }=|\sqrt{(-3)^{2} +(-1)^{2} +8^{2} } =\sqrt{9+1+64} =\sqrt{74}$

Скалярное произведение векторов равно произведению абсолютных величин этих векторов на косинус угла между ними .

Пусть угол между векторами  будет α

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} =|\vec{AB} |\cdot|\vec{AD} |\cdot cos \alpha ;\\\\cos\alpha =\dfrac{\vec{AB} \cdot \vec{AD} }{|\vec{AB} |\cdot |\vec{AD} |} ;\\\\cos\alpha =\dfrac{14}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{74} } \approx\dfrac{14}{3,3166\cdot 8,6023} =\dfrac{14}{28, 5304} \approx0,4907$

$\angle{} A \approx61^{0}$

Значит, острый угол параллелограмма  равен 61 °.

#SPJ1