Ответы
Відповідь:
1. Розв'яжемо рівняння |x²-x-1|=1:
a) x²-x-1=1
x²-x-2=0
(x-2)(x+1)=0
x=2 або x=-1
b) x²-x-1=-1
x²-x=0
x(x-1)=0
x=0 або x=1
Отже, розв'язками є x=2, x=-1, x=0, x=1.
2. Перевіримо, чи задовольняють ці значення рівняння |x²-x-1|=1:
a) x=2: |2²-2-1|=3, не підходить.
b) x=-1: |-1²+1-1|=1, підходить.
c) x=0: |0²-0-1|=1, підходить.
d) x=1: |1²-1-1|=1, підходить.
Отже, розв'язками є x=-1, x=0, x=1.
Це квадратне рівняння, щоб вирішити його, разом із обидвома від'ємними та додатніми значеннями x, треба використовувати модуль в цьому випадку. Розділимо область визначення на два випадки, де x від'ємний та де x додатний.
Якщо x менше за нуль:
x² - 2(-x) - 8 = 0
x² + 2x - 8 = 0
Застосуємо формулу дискримінанту:
D = b² - 4ac = 2² - 4(1)(-8) = 36
тоді:
x1 = (-b + √D) / 2a = (-2 + √36) / 2 = -1
x2 = (-b - √D) / 2a = (-2 - √36) / 2 = -4
Таким чином, для значень x менше за нуль розв'язки рівняння є x1 = -1 та x2 = -4.
Якщо x більше за нуль:
x² - 2x - 8 = 0
D = b² - 4ac = (-2)² - 4(1)(-8) = 36
тоді:
x1 = (-b + √D) / 2a = (2 + √36) / 2 = 3
x2 = (-b - √D) / 2a = (2 - √36) / 2 = -2
Таким чином, для значень x більше за нуль розв'язки рівняння є x1 = 3 та x2 = -2.
Отже, розв'язками рівняння є: x1 = -1, x2 = -4, x3 = 3 та x4 = -2.