Question

Помогите пожалуйста решить. Ко второму заданию фото снизу прилагается.
1) Найдите наименьший положительный корень уравнения
cos x/6=1
2) Среди приведенных укажите уравнение, не имеющее корней на множестве действительных чисел.
3) Найдите количество корней уравнения 2 sin^2x-cos x=1 на промежутке [0; П].


​

Answer 1

Ответ:

1)  Решить уравнение .

$\bf cos\dfrac{x}{6}=1\\\\\\\dfrac{x}{6}=2\, \pi n\ \ ,\ \ n\in Z\ \ ,\ \ \ \ x=12\, \pi n\ \ ,\ \ n\in Z$  

Наименьший положительный корень получим при  n=1 ,  $\bf x=12\, \pi$  .

2)  На множестве действительных чисел не имеет решений

уравнение  Д , так как  получаем значение функции косинус,

бОльшее 1 , а  $\bf -1\leq cos\, t\leq 1$  .

$\bf 5\, cos\dfrac{x}{7}=2\pi \ \ \ \Rightarrow \ \ \ cos\dfrac{x}{7}=\dfrac{2\pi }{5}\approx 1,2566\ \ \ (\pi \approx 3,14159)\\\\\boldsymbol{\bf x\in \varnothing }$  

3)  Уравнение :    $\bf 2\, sin^2x-cosx=1$  .

Из тригонометрической единицы выражаем функцию  $\bf sin^2x$  .

$\bf 2\cdot (1-cos^2x)-cosx=1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ -2cos^2x+2-cosx-1=0\ \ ,\\\\2cos^2x+cosx-1=0\\\\zamena:\ \ t=cosx\ \ ,\ \ -1\leq t\leq 1\ \ ,\ \ \ \ 2\, t^2+t-1=0\ \ ,\\\\D=b^2-4ac=1+8=9\ \ ,\ \ x_1=\dfrac{-1-3}{4}=-1\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac{1}{2}$  

Переходим к старой переменной .

$\bf a)\ \ cosx=-1\ \ ,\ \ x=\pi +2\pi n\ \ ,\ \ n\in Z\\\\b)\ \ cosx=\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ x=\pm \dfrac{\pi }{3}+2\pi k\ \ ,\ \ k\in Z\\\\c)\ \ x\in [\ 0\ ;\ \pi \ ]\ \ \Rightarrow \ \ \ x=0\ ,\ x=\pi \ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{3}$  

Три корня принадлежат заданному промежутку .

Ответ:   $\bf x_1=\pi +2\pi n\ \ ,\ \ x_2=\pm \dfrac{\pi }{3}+2\pi k\ \ ,\ \ n,k\in Z\ \ ;$    три корня

принадлежат сегменту   [ 0 ; π ]  .