Question

скільки цілих корнів має рівняння (x^2 - 2x)^2 + 7x^2 -14x + 6 = 0

Answer 1

Спочатку розглянемо вираз (x^2 - 2x)^2. Можна розкрити його як (x^2 - 2x) * (x^2 - 2x) і отримати x^4 - 4x^3 + 4x^2.

Тоді рівняння можна переписати як x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 7x^2 -14x + 6 = 0, що спрощується до x^4 - 4x^3 + 11x^2 - 14x + 6 = 0.

Можна спробувати розкласти це рівняння на множники, проте це може бути досить складно. Замість цього, можна спробувати знайти корені за допомогою техніки зведення до квадрату.

Для цього спочатку знайдемо середній член у виразі x^4 - 4x^3 + 11x^2 - 14x + 6, що дорівнює -4x^3/2 + 11x^2/2 - 7x + 3. Тоді можна додати і відняти цей вираз у лівій частині рівняння, отримавши:
(x^4 - 4x^3 + 11x^2 - 14x + 9/4) + (7/4)x^2 = 9/4

Зараз можна звести ліву частину до квадрату, використовуючи формулу (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, де a = x^2 - 2x і b = -2x^3/4 + 11x/4 - 3/2. Отримуємо:
(x^2 - 2x - 2x^3/4 + 11x/4 - 3/2)^2 = 1/4

З цього рівняння маємо два квадратних рівняння:
x^2 - 2x - 2x^3/4 + 11x/4 - 3/2 = 1/2 або x^2 - 2x - 2x^3/4 + 11x/4 - 3/2 = -1/2

Розв'язуючи кожне з цих рівнянь за допомогою квадратного кореня, маємо чотири розв'язки:
x = 1/2, x = 2, x = (1 + sqrt(13))/2, x = (1 - sqrt(13))/2.

Отже, рівняння має чотири цілих корені